|
Здравствуйте! Необходимо найти асимптоты и построить эскиз графика функции, используя метод выделения главной части: $$y = x^\tfrac 3 2 - 4x^\tfrac 1 2$$ Не пойму, тут можно какие-то асимптоты найти вообще? И как выделять главную часть? Это ряд Тейлора нужно использовать? задан 30 Сен '15 18:43 
Math_2012 |
|
Ряд Тейлора использовать не надо. Имеется в виду, что при $%x\to+\infty$% главным членом является $%x^{3/2}$%, так как он быстрее растёт: $%y=x^{3/2}(1-4x^{-1})$%. При $%x\gg1$% график почти совпадает с графиком $%y=x^{3/2}$%, а последний легко изобразить. При $%x > 0$% близких к нулю всё наоборот: главным членом будет второе слагаемое: $%y=x^{1/2}(x-4)$%. Поэтому вблизи нуля график будет примерно такой же, как для $%y=-4\sqrt{x}$%. Производная в нуле бесконечна, и получается вертикальная асимптота $%x=0$%. Эскиз рисуется просто: он состоит из двух фрагментов, которые надо соединить. При этом надо учесть, что $%x=4$% является корнем. Можно также найти производную, и заметить, что $%x=\frac43$% будет точкой минимума. отвечен 1 Окт '15 2:24 
falcao @falcao: У меня вопрос. Нас учили, что вертикальные асимптоты находятся так: если $%\lim\limits_{x \to x_0-0} = +\infty$% или $%\infty$% или $%\lim\limits_{x \to x_0+0} = +\infty$% или $%\infty$%, то $%x = x_0$% - вертикальная асимптота. Тут это работает? Как Вы нашли вертикальную асимптоту? Вы пишете про то, что производная в нуле бесконечна, а про эти пределы - ничего.. В общем, непонятно, как ее искать... (
(1 Окт '15 19:51)
Math_2012
@Math_2012: здесь функция вблизи нуля ведёт себя подобно графику квадратного корня (с точностью до множителя). Это хорошо известный график, и его можно просто воспроизвести. Когда производная в точке $%x_0$% бесконечна, график неограниченно приближается к прямой $%x=x_0$% в окрестности точки, поэтому её можно условно считать вертикальной асимптотой. Хотя здесь просто будет вертикальная касательная в точке, и это отличается от "типовых" случаев вроде функции $%y=\frac1x$% вблизи прямой $%x=0$%. Мне кажется, здесь не надо стремиться к соблюдению перечня пунктов, так как поведение функции ясно.
(1 Окт '15 22:50)
falcao
|