|
Здравствуйте! Пусть $%\lim\limits_{n \to \infty}x_n = x$%, $%m_n = \inf\limits_{k \ge n}\{x_k\}$%, $%M_n = \sup\limits_{k \ge n}\{x_k\}, n \in N$%. Доказать, что $%\lim\limits_{n \to \infty}m_n = \lim\limits_{n \to \infty}M_n = x$%. задан 30 Сен '15 19:25 
Math_2012 |
|
Для произвольного $%\varepsilon > 0$% рассмотрим $%n_0=n_0(\varepsilon)$% такое, что $%|x_n-x| < \varepsilon$% при всех $%n\ge n_0$%. Для каждого из таких $%n$% рассмотрим произвольное $%k\ge n$%. Тогда $%x-\varepsilon < x_k < x+\varepsilon$% для всех таких $%k$%. Следовательно $%x-\varepsilon\le\inf\limits_{k\ge n}x_k < x+\varepsilon$%, откуда $%|m_n-x|\le\varepsilon$% для всех $%n\ge n_0$%. Отсюда следует, что $%\lim\limits_{n\to\infty}m_n=x$%. Для $%M_n$% доказательство аналогично. отвечен 1 Окт '15 3:20 
falcao |
Я исправил опечатки в нижних индексах.
@falcao: Напомните, пожалуйста, где были опечатки? Я, наверное, не заметила. (
Опечатка была в нижних индексах. В тексте было написано $%\inf\limits_{k\ge n}\{x_n\}$%, что не имеет смысла. Точнее, имеет, но при этом получается, что это величина, зависящая от $%k$% вместо $%n$%, и она равна минимуму первых $%k$% значений последовательности, а это совсем не то.
@falcao: Значит, там, откуда я это брала, опечатка. (