Здравствуйте!

Пусть $%\lim\limits_{n \to \infty}x_n = x$%, $%m_n = \inf\limits_{k \ge n}\{x_k\}$%, $%M_n = \sup\limits_{k \ge n}\{x_k\}, n \in N$%. Доказать, что $%\lim\limits_{n \to \infty}m_n = \lim\limits_{n \to \infty}M_n = x$%.

задан 30 Сен '15 19:25

изменен 1 Окт '15 2:25

falcao's gravatar image


259k23750

Я исправил опечатки в нижних индексах.

(1 Окт '15 2:26) falcao

@falcao: Напомните, пожалуйста, где были опечатки? Я, наверное, не заметила. (

(1 Окт '15 17:13) Math_2012

Опечатка была в нижних индексах. В тексте было написано $%\inf\limits_{k\ge n}\{x_n\}$%, что не имеет смысла. Точнее, имеет, но при этом получается, что это величина, зависящая от $%k$% вместо $%n$%, и она равна минимуму первых $%k$% значений последовательности, а это совсем не то.

(1 Окт '15 17:18) falcao

@falcao: Значит, там, откуда я это брала, опечатка. (

(1 Окт '15 17:24) Math_2012
10|600 символов нужно символов осталось
2

Для произвольного $%\varepsilon > 0$% рассмотрим $%n_0=n_0(\varepsilon)$% такое, что $%|x_n-x| < \varepsilon$% при всех $%n\ge n_0$%. Для каждого из таких $%n$% рассмотрим произвольное $%k\ge n$%. Тогда $%x-\varepsilon < x_k < x+\varepsilon$% для всех таких $%k$%. Следовательно $%x-\varepsilon\le\inf\limits_{k\ge n}x_k < x+\varepsilon$%, откуда $%|m_n-x|\le\varepsilon$% для всех $%n\ge n_0$%. Отсюда следует, что $%\lim\limits_{n\to\infty}m_n=x$%. Для $%M_n$% доказательство аналогично.

ссылка

отвечен 1 Окт '15 3:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,753
×763
×147

задан
30 Сен '15 19:25

показан
467 раз

обновлен
1 Окт '15 17:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru