В параллелограмме KLMN на сторонах KL и LM взяты точки F и P соответственно так, что KF=PM. KP и MF пересекаются в точке R. Доказать, что NR биссектриса угла N.

задан 1 Окт '15 22:40

изменен 2 Окт '15 0:01

@NataliaIvanova: проверьте, пожалуйста, условие. Здесь сказано, что KR и что-то пересекаются в точке R. Вряд ли так должно быть. Какие-то буквы, скорее всего, перепутались.

(1 Окт '15 23:12) falcao

Извините, исправила

(2 Окт '15 0:01) NataliaIvanova
10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно рассмотреть аффинную систему координат, где $%N$% - начало координат, а вдоль сторон $%NK$% и $%NM$% направлены координатные оси, на которых выбран одинаковый масштаб...

Тогда точки будут иметь координаты: $$ N(0;0),\; K(a;0),\; M(0;b),\; F(a,c),\; P(c;b) $$ Дальше пишите уравнения прямых $%KP$% и $%FM$%... ищите координаты точки $%R$%, решая систему из двух уравнений... если координаты этой точки одинаковы, то она лежит на биссектрисе...

=================================================

UPD: Векторный вариант решения...

Выберем два вектора одинаковой длины - $%\bar{u}$% и $%\bar{v}$%, сонаправленных векторам $%\overline{NK}$% и $%\overline{NM}$% соответственно... Тогда справедливо представление следующих векторов: $$ \overline{NK}=a\,\bar{u}, \quad \overline{NM}=b\,\bar{v}, \quad \overline{NP}=c\,\bar{u} +b\,\bar{v}, \quad \overline{NF}=a\,\bar{u} +c\,\bar{v} $$ Затем рассматриваем сумму $%\bar{p}=\overline{NK}+x\,\overline{KP}$%, где $%x$% находим из условия, что $%\bar{p}=d(\bar{u} +\bar{v})$%, то есть направлен по биссектрисе... Потом аналогично рассматриваете $%\bar{q}=\overline{NM}+y\,\overline{MF}$% ... и в конце проверяем, что $%\bar{p}=\bar{q}$%...

ссылка

отвечен 2 Окт '15 11:45

изменен 2 Окт '15 15:01

Хотя наверное такое решение не сильно пригодно для школы...

(2 Окт '15 11:46) all_exist

С другой стороны можно не произносить слов про аффинную систему координат, а переписать решение в векторном виде...

(2 Окт '15 11:53) all_exist

А нельзя ли это решить более простым и стандартным способом?

(2 Окт '15 12:38) NataliaIvanova

А почему если координаты точки R одинаковы, мы делам вывод, что R принадлежит биссектрисе?

(2 Окт '15 12:43) NataliaIvanova

А нельзя ли это решить более простым и стандартным способом? - иного пока в голову не пришло...

А почему если координаты точки R одинаковы, мы делам вывод, что R принадлежит биссектрисе? - при сложении векторов одинаковой длины получаем вектор, который направлен по диагонали ромба... а она является биссектрисой угла...

(2 Окт '15 14:01) all_exist

Но решение с афинной системой координат мне больше нравится, как-то необыкновенно и очень красиво

(2 Окт '15 21:59) NataliaIvanova
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025
×44

задан
1 Окт '15 22:40

показан
863 раза

обновлен
2 Окт '15 21:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru