Здравствуйте!

Необходимо найти асимптоты и построить эскиз графика функции, заданной в полярных координатах:

$$r = \frac{4\cos^2{\phi}\sin\phi}{\cos 2\phi} \ (скифоида)$$

В общем, с полярными координатами я в конец запуталась. Читаю разные источники. Почему-то по-разному описано, как искать асимптоты, разные формулы (хотя, наверное, они все друг к другу сводятся). Нас учили так. В полярных координатах прямая, задаваемая уравнением:

$$r = \frac {d}{\sin(\phi - \phi_0)}, \ d \ne 0$$

является асимптотой, если выполнены условия:

$$\lim\limits_{\phi \to \phi_0}r(\phi) = +\infty \ (1)$$ $$\lim\limits_{\phi \to \phi_0}r(\phi)\sin(\phi - \phi_0) = d \ (2)$$

В общем, я искала область определения, исходя из того, что знаменатель не должен быть равен нулю. У меня получилось $%\cos 2\phi \ne 0$%, то есть $%\phi \ne \frac {\pi}4 + \frac {\pi n} 2$%. Видимо, надо проверять эти значения. Условие (1) выполняется. Я взяла сначала $%\phi = \frac \pi 4$%, посчитала предел, он получился равен $%-\frac 1 {\sqrt 2} = d.$% Если я правильно понимаю, нужно проделать примерно те же действия для $%\phi = \frac {3\pi}4$%, то есть взять такой же предел. И так как функция периодическая, то остальные рассматривать не нужно. Однако предел для $%\phi = \frac {3\pi}4$% что-то у меня не берется. Наверное, опять что-то напутала. Может, кто поможет?

задан 2 Окт '15 18:24

@falcao: Хотя вопрос, конечно, ко всем: как для функции в полярных координатах искать промежутки возрастания/убывания? Нужно тоже брать производную по $%\phi$% и смотреть, где она положительна/отрицательна?

(5 Окт '15 1:19) Math_2012
1

@Math_2012: если нас интересует вопрос об увеличении или уменьшении радиуса с изменением угла, то так и надо делать.

(5 Окт '15 2:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%\phi_0=\frac{3\pi}4$%, то положим $%\phi=\phi_0+\psi$%, где $%\psi\to0$%. Найдём предел функции $%r(\phi)\sin(\phi-\phi_0)$%.

Прежде всего, $%4\cos^2\phi\sin\phi$% стремится к $%4\cdot\frac12\cdot\frac1{\sqrt2}=\sqrt2$%. Далее, $%\cos2\phi=\cos(\frac{3\pi}2+2\psi)=\sin2\psi\sim2\psi$%, и $%\sin(\phi-\phi_0)=\sin\psi\sim\psi$% при $%\psi\to0$%. Отсюда $%r(\phi)\sin(\phi-\phi_0)\sim\sqrt2\frac{\psi}{2\psi}=\frac1{\sqrt2}$%.

Получается вторая асимптота $%r=\frac1{\sqrt2\sin(\phi-\frac{3\pi}4)}$%, и именно такой ответ для неё дан в задачнике. Всего асимптот две. Первая уже была найдена. Периодичность уже учтена.

ссылка

отвечен 2 Окт '15 22:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,794
×769
×187
×28
×24

задан
2 Окт '15 18:24

показан
605 раз

обновлен
5 Окт '15 2:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru