Здравствуйте! Доказать, что функция равномерно непрерывна на множестве:

$$f(x) = x\sin\left(\frac 1 x\right), X = (0; \pi]$$

задан 5 Окт '15 3:38

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%\varepsilon > 0$%. Рассмотрим число $%a\in(0;\pi]$%, для которого $%a\le\varepsilon/3$%. На отрезке $%[a;\pi]$% наша функция равномерно непрерывна по теореме Кантора, поэтому существует $%\delta > 0$% такое, что $%|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon/3$% при любых $%x_1,x_2\in[a;\pi]$% с условием $%|x_1-x_2| < \delta$%.

Если $%x_1,x_2\in(0;a]$%, то $%|f(x_1)-f(x_2)|\le|f(x_1)|+|f(x_2)|\le|x_1|+|x_2|\le2a\le2\varepsilon/3$%.

Пусть теперь $%x_1,x_2\in(0;\pi]$% -- произвольные числа, для которых $%|x_1-x_2| < \delta$%. Если они оба принадлежат $%(0;a]$%, или оба принадлежат $%[a;\pi]$%, то неравенство $%|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$% верно. Если это не так, то одно из чисел (пусть это $%x_1$%) принадлежит $%(0;a]$%, а второе принадлежит $%[a;\pi]$%. Тогда $%|f(x_1)-f(a)|\le2\varepsilon/3$% и $%|f(a)-f(x_2)| < \varepsilon/3$%, откуда $%|f(x_1)-f(x_2)|\le|f(x_1)-f(a)|+|f(a)-f(x_2)| < \varepsilon$%.

ссылка

отвечен 5 Окт '15 4:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,292
×705
×596
×114

задан
5 Окт '15 3:38

показан
580 раз

обновлен
5 Окт '15 4:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru