Здравствуйте! Нужно исследовать функцию на непрерывность и найти точки разрыва и какого они рода:

$$f(x) = \begin{cases} \frac 1 q, x = \frac p q \ \in \ Q \\0, x \ \in \ R \setminus Q \end{cases}$$

задан 5 Окт '15 3:53

изменен 5 Окт '15 3:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вопрос про эту же функцию был здесь. В любой рациональной точке значение функции положительно, а любая сколь угодно малая окрестность содержит иррациональные точки, в которых функция равна нулю. Значит, $%f$% разрывна в любой рациональной точке.

Легко показать, что $%\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$% для всех $%x_0\in\mathbb R$%. Это делается аналогично случаю $%x_0=0$% по ссылке. Действительно, если $%f(x)=|f(x)|\ge\varepsilon > 0$%, то $%x=\frac{p}q$% рационально, и $%\frac1q\ge\varepsilon$%, откуда $%q\le1/\varepsilon$%, то есть $%q$% принимает конечное число значений для каждого $%\varepsilon > 0$%. Множество рациональных точек с такими знаменателями дискретно, поэтому у любой точки $%x_0$% имеется проколотая окрестность, этих точек не содержащая. Для точек этой проколотой окрестности справедливо неравенство $%|f(x)| < \varepsilon$%, то есть предел функции равен нулю.

В иррациональных точках функция непрерывна, а в рациональных разрывна, и это разрыв первого рода.

ссылка

отвечен 5 Окт '15 5:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,132
×579
×111

задан
5 Окт '15 3:53

показан
533 раза

обновлен
5 Окт '15 5:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru