Здравствуйте! Необходимо найти предел функции:

$%\lim\limits_{x \to 0}\tfrac{(a^x - b^x)^2}{a^{x^2} - b^{x^2}}, \ a > 0, \ b > 0, \ a \ne b$%

Я пыталась всё приводить к пределу $%\lim\limits_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a$%, но что-то не получился у меня этот пример до конца. (

задан 5 Окт '15 15:52

изменен 5 Окт '15 15:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%a^x=e^{x\ln a}=1+x\ln a+o(x)$% при $%x\to0$%

$%b^x=e^{x\ln b}=1+x\ln b+o(x)$%

$%a^x-b^x=x(\ln a-\ln b)+o(x)$%

$%(a^x-b^x)^2=x^2(\ln a-\ln b)^2+o(x^2)$%

$%a^{x^2}=x^2\ln a+o(x^2)$%

$%b^{x^2}=x^2\ln b+o(x^2)$%

$%a^{x^2}-b^{x^2}=x^2(\ln a-\ln b)+o(x^2)$%

$%\frac{(a^x-b^x)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}}=\frac{x^2(\ln a-\ln b)^2+o(x^2)}{x^2(\ln a-\ln b)+o(x^2)}=\frac{(\ln a-\ln b)^2+o(1)}{\ln a-\ln b+o(1)}\to\ln a-\ln(b)=\ln\frac{a}b$% по теореме о пределе частного, поскольку предел знаменателя отличен от нуля ввиду $%a\ne b$%.

ссылка

отвечен 5 Окт '15 16:05

@falcao: Я всё-таки хочу вернуться к этому примеру. Почему нельзя здесь делать через приведение к $%\lim\limits_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a$%? Я сначала раскрыла скобки в числителе, потом применила этот предел, но потом в числителе получилось $%2x\ln(ab) - 2x\ln(ab)$%. В общем, что-то я запуталась. ( Ведь предел, который я использовала, и $%\lim\frac{e^x - 1}x = 1$% один через другой выводятся, разве нет? Надеюсь на разъяснение.

(15 Окт '15 18:21) Math_2012

@Math_2012: я не утверждал, что так делать нельзя. В принципе, все эти пределы связаны друг с другом. И то, что одно через другое выводится, это правда. Но тогда следует из равноценных способов взять наиболее удобный, где всё выражается единообразно. Лучшая в этом смысле из известных мне техник -- это о-символика. Тогда не надо писать все эти бесконечные lim'ы, и всё получается единообразно. Ваш предел означает в точности, что $%\frac{a^x-1}{x}=\ln a+o(1)$% при $%x\to0$%, и тогда удобно домножить на $%x$%. Получится $%a^x=1+x\ln a+o(x)$%, то есть то, что было у меня.

(15 Окт '15 18:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,793
×769
×670

задан
5 Окт '15 15:52

показан
556 раз

обновлен
15 Окт '15 18:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru