|
Здравствуйте! Необходимо найти предел функции: $%\lim\limits_{x \to 0}\tfrac{(a^x - b^x)^2}{a^{x^2} - b^{x^2}}, \ a > 0, \ b > 0, \ a \ne b$% Я пыталась всё приводить к пределу $%\lim\limits_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a$%, но что-то не получился у меня этот пример до конца. ( задан 5 Окт '15 15:52 
Math_2012 |
|
$%a^x=e^{x\ln a}=1+x\ln a+o(x)$% при $%x\to0$% $%b^x=e^{x\ln b}=1+x\ln b+o(x)$% $%a^x-b^x=x(\ln a-\ln b)+o(x)$% $%(a^x-b^x)^2=x^2(\ln a-\ln b)^2+o(x^2)$% $%a^{x^2}=x^2\ln a+o(x^2)$% $%b^{x^2}=x^2\ln b+o(x^2)$% $%a^{x^2}-b^{x^2}=x^2(\ln a-\ln b)+o(x^2)$% $%\frac{(a^x-b^x)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}}=\frac{x^2(\ln a-\ln b)^2+o(x^2)}{x^2(\ln a-\ln b)+o(x^2)}=\frac{(\ln a-\ln b)^2+o(1)}{\ln a-\ln b+o(1)}\to\ln a-\ln(b)=\ln\frac{a}b$% по теореме о пределе частного, поскольку предел знаменателя отличен от нуля ввиду $%a\ne b$%. отвечен 5 Окт '15 16:05 
falcao @falcao: Я всё-таки хочу вернуться к этому примеру. Почему нельзя здесь делать через приведение к $%\lim\limits_{x \to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \ln a$%? Я сначала раскрыла скобки в числителе, потом применила этот предел, но потом в числителе получилось $%2x\ln(ab) - 2x\ln(ab)$%. В общем, что-то я запуталась. ( Ведь предел, который я использовала, и $%\lim\frac{e^x - 1}x = 1$% один через другой выводятся, разве нет? Надеюсь на разъяснение.
(15 Окт '15 18:21)
Math_2012
@Math_2012: я не утверждал, что так делать нельзя. В принципе, все эти пределы связаны друг с другом. И то, что одно через другое выводится, это правда. Но тогда следует из равноценных способов взять наиболее удобный, где всё выражается единообразно. Лучшая в этом смысле из известных мне техник -- это о-символика. Тогда не надо писать все эти бесконечные lim'ы, и всё получается единообразно. Ваш предел означает в точности, что $%\frac{a^x-1}{x}=\ln a+o(1)$% при $%x\to0$%, и тогда удобно домножить на $%x$%. Получится $%a^x=1+x\ln a+o(x)$%, то есть то, что было у меня.
(15 Окт '15 18:42)
falcao
|