комбинаторика - Вопрос про группы и перестановки (теория групп, алгебра)

Множество всех отображений $%M$% в $%M$% образует полугруппу относительно композиции. Есть также нейтральный элемент (тождественное отображение). При $%n > 1$% это не группа, так как легко строится отображение, не имеющее обратного. Достаточно взять $%f(x)=1$% для всех $%x\in M$%. Это отображение не инъективно (так как $%f(1)=f(2)$%), и обратным оно не обладает.

Множество всех биекций образует группу -- это как раз и есть группа подстановок. Это очевидно, так как биекция имеет обратную, и это тоже биекция.

Заметим, что только биекции обладают обратным элементом.

Что касается множества всех инъекций (сюръекций), то если речь идёт об отображениях конечного множества $%M$% в себя, то всякая инъекция будет сюръекцией, и наоборот. Это достаточно популярный, и просто осознаваемый факт. Если пришло $%n$% человек, и было $%n$% разных предметов, и каждый взял какой-то один предмет (свой для каждого), то ясно, что всё оказалось разобрано.

Для бесконечного множества это уже неверно, так как отображение $%x\mapsto x+1$% из $%\mathbb N$% в $%\mathbb N$% инъективно, но не сюръективно (число 1 никому не досталось).

Таким образом, множество всех инъекций из $%M$% в $%M$% для конечного $%M$% будет совпадать с множеством всех биекций, и это будет та же группа. То же для сюръекций.

При $%n\ge3$% группа подстановок неабелева. Если взять $%f(1)=2$%, $%f(2)=1$%, $%f(3)=3$%, и $%g(1)=1$%, $%g(2)=3$%, $%g(3)=2$%, то композиция $%f$% и $%g$% не равна композиции $%g$% и $%f$%, что проверяется непосредственно.

При $%n\le2$% группа подстановок состоит из одного или двух элементов, а всякая такая группа абелева, что очевидно.