аналитическая-геометрия - Векторное уравнение относительно х

Если $%\bar{a}=\bar{b}=\bar{0}$%, то $%\bar{x}$% любой...

Если $%\bar{a}=\bar{0},\;\bar{b}\neq\bar{0}$%, то любой $%\bar{x}\parallel\bar{b}$% ...

Если $%\bar{a}\neq\bar{0},\;\bar{b}=\bar{0}$%, то любой $%\bar{x}\parallel\bar{a}$% ...

Если $%\bar{a},\;\bar{b}$% ненулевые и $%\bar{a}\parallel\bar{b}$%, то $%\bar{a}=\lambda\bar{b}$%... Тогда уравнение перепишется в виде $%(1+\lambda)[\bar{a},\bar{x}]=\bar{0}$%, которому удовлетворяет любой $%\bar{x}\parallel\bar{a}$%...(а при $%\lambda=-1$% вообще любой $%\bar{x}$%) ...

Если $%\bar{a}\not\parallel\bar{b}$%, то тройка векторов $%\bar{a},\;\bar{b},\;\bar{c}=[\bar{a},\bar{b}]$% образуют базис... Разложим вектор $%\bar{x}$% по базису $$ \bar{x}=\alpha\,\bar{a}+\beta\,\bar{b}+\gamma\,\bar{c} $$ и подставим в уравнение $$ \Big(\alpha\,[\bar{a},\bar{a}]+\beta\,[\bar{a},\bar{b}]+\gamma\,[\bar{a},\bar{c}]\Big) + \Big(\alpha\,[\bar{b},\bar{a}]+\beta\,[\bar{b},\bar{b}]+\gamma\,[\bar{b},\bar{c}]\Big) = \bar{c} $$ $$ (\beta-\alpha)\,\bar{c}+\gamma\,[\bar{a}+\bar{b},\bar{c}]= \bar{c} $$ откуда $%\beta-\alpha=1,\;\gamma=0$%... То есть решением является любой вектор вида $%\bar{x}=\alpha\,\bar{a}+(1+\alpha)\,\bar{b}$%...

=======================

UPD: Если переписать уравнение в виде $%[\bar{a}+\bar{b},\bar{x}]=[\bar{a},\bar{b}]$%, то оно является линейным по иксу... Тогда все частные геометрические ситуации рассмотренные выше сведутся к двум алгебраическим:
1) $%\bar{a}+\bar{b}=\bar{0}$% ... тогда правая часть тоже нулевая и решением является любой $%\bar{x}$%...
2) $%\bar{a}+\bar{b}\neq\bar{0}$% ... тогда угадывается частное решение неоднородного уравнения $%\bar{x}_1=\bar{b}$%... а общее решение однородного уравнения $%[\bar{a}+\bar{b},\bar{x}]=\bar{0}$% является $%\bar{x}_0=\alpha(\bar{a}+\bar{b})$% ... Осталось их сложить и получить общее решение исходного уравнения...