геометрия - Решить векторным методом

Введём следующие обозначения для векторов: $%b=\vec{AB}$%, $%c=\vec{AC}$%, $%d=\vec{AD}$%. Тогда для середин $%K$%, $%L$% диагоналей $%AC$%, $%BD$% соответственно, имеем $%\vec{AK}=\frac12c$% и $%\vec{AL}=\frac12(b+d)$%, откуда квадрат расстояния между серединами диагоналей равен $%KL^2=\vec{KL}^2=(\vec{AL}-\vec{AK})^2=\frac14(b-c+d)^2$%.

Отсюда $%4KL^2=(b-c)^2+d^2+2bd-2cd$%. Заметим, что $%2bd=b^2+d^2-(b-d)^2$% и $%2cd=c^2+d^2-(c-d)^2$%. Отсюда $%4KL^2=(b-c)^2+d^2+b^2+d^2-(b-d)^2-c^2-d^2+(c-d)^2$%, где два подобных члена сокращаются, и получается $%4KL^2=BC^2+AD^2+AB^2-BD^2-AC^2+CD^2$%, то есть сумма квадратов сторон минус сумма квадратов диагоналей. Остаётся извлечь квадратный корень и поделить на два: $$KL=\frac{\sqrt{AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2}}2.$$