По длинам сторон и диагоналей четырехугольника вычислить расстояние между серединами его диагоналей.

задан 8 Окт '15 18:50

10|600 символов нужно символов осталось
0

Введём следующие обозначения для векторов: $%b=\vec{AB}$%, $%c=\vec{AC}$%, $%d=\vec{AD}$%. Тогда для середин $%K$%, $%L$% диагоналей $%AC$%, $%BD$% соответственно, имеем $%\vec{AK}=\frac12c$% и $%\vec{AL}=\frac12(b+d)$%, откуда квадрат расстояния между серединами диагоналей равен $%KL^2=\vec{KL}^2=(\vec{AL}-\vec{AK})^2=\frac14(b-c+d)^2$%.

Отсюда $%4KL^2=(b-c)^2+d^2+2bd-2cd$%. Заметим, что $%2bd=b^2+d^2-(b-d)^2$% и $%2cd=c^2+d^2-(c-d)^2$%. Отсюда $%4KL^2=(b-c)^2+d^2+b^2+d^2-(b-d)^2-c^2-d^2+(c-d)^2$%, где два подобных члена сокращаются, и получается $%4KL^2=BC^2+AD^2+AB^2-BD^2-AC^2+CD^2$%, то есть сумма квадратов сторон минус сумма квадратов диагоналей. Остаётся извлечь квадратный корень и поделить на два: $$KL=\frac{\sqrt{AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2}}2.$$

ссылка

отвечен 8 Окт '15 19:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,628
×53

задан
8 Окт '15 18:50

показан
278 раз

обновлен
8 Окт '15 19:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru