|
Дано: гражданин Эн хочет положить 10000 евро в банк и брать из этой суммы по 100 евро в месяц. Этого ему хватило при отсутствии процентов по вкладу на 100 месяцев = 8,3 года. Но гражданин Эн ищет банк с таким годовым процентом, чтобы ему этой суммы хватило на 10 лет. как высчитать процент, под который гражданин Эн должен положить деньги? Примечание: за расчет годового процента примем процент от средней суммы на счету за год. Пример: за первый год это будет процент от суммы (100000+99900+99800+99700+99600+99500+99400+99300+99200+99100+99000+98900) / 12 (по 100 в месяц уходит, складываем, делим на 12 и от этой суммы должен в конце года начисляться процент Х который мы ищем) Что удалось решить: поскольку ИМХО имеем дело с убывающей арифметической прогрессией можем сразу заменить (100000+99900+99800+99700+99600+99500+99400+99300+99200+99100+99000+98900) на формулу суммы н-членов арифметической прогрессии Sn = ((2A1 + (n-1)*d)/2), где А1 первый член = 100000, n=12 месяцев, d = -100 Евро месячный уход. Результат делим на 12 и получаем среднее на счету за год (обозначим как "P"), от чего и берется искомый процент "Х". Вторым шагом находим состояние счета на 12-ом месяце = 98900, но также по формуле н-го члена арифметической прогрессии An = A1+d(n-1). Результат обозначим как А12. К нему будут приплюсованы проценты P*X. Так двигаемся дальше и ищем А24 А24 = А12 + d(n-1) = (A1+d(n-1) ) * P*X +d(n-1) A36 = А24 + d(n-1) = ((A1+d(n-1) ) * PX +d(n-1)) * PX +d(n-1) = (A1+d(n-1) ) * (PX)^2 +d(n-1) P*X +d(n-1) Уже на третьем году видно что Х ищется из Х^2 + Х + Константа Очевидно на десятом году это будет Х в девятой степени + Х^8 + Х^7 + ... + Х^2 + Х + Константа. Вопрос 1: есть ли более простой способ найти Икс? Вопрос 2: Можно ли математически описать формулой такую убывающую последовательность, каждый двенадцатый член которой умножается на процент от среднего арифметического его 12-ти предшественников? Спасибо задан 9 Окт '15 1:11 |
|
Обычно проценты начисляют на всём периоде, в течение которого средства лежат на счёте ... поэтому начисления процентов надо пересчитывать каждый месяц... Если $%P$% - остаток средств, $%i$% - относительная процентная ставка, а $%100$% евро снимают в конце месяца, то остаток на следующий месяц вычисляется как $$ P\cdot(1+i)^{1/12}-100. $$ Обозначим $%q=(1+i)^{1/12}$%... тогда весь процесс описывается равенством $$ (\ldots((10000\cdot q-100)\cdot q-100)-\ldots)\cdot q-100=0 $$ $$ 10000\cdot q^{120}-100\cdot(q^{119}+q^{118}+\ldots+q+1)=0 $$ $$ 100\cdot q^{120}-\frac{q^{120}-1}{q-1}=0 $$ Вот в какой-то из таких форм записи надо будет искать корень уравнения, который больше 1... очевидно, что такое уравнение имеет ровно один такой корень ... отвечен 9 Окт '15 18:29 
all_exist |
Хм... а где тут у Вас дифференциальное уравнение?... Да и арифметической прогрессии у Вас тут нет, только геометрическая должна быть...
@all_exist: на форуме были несколько раз задачи с таким сюжетом. Типа этой. И было что-то, где Вы отвечали, если мне не изменяет память.
@falcao, ну, здесь-то задача на решение уравнения 120 степени... и вряд ли предполагается решать его в ручную...
@student-uni, а как называется дисциплина, на которой дали задачу?... и чем можно пользоваться в решении?...
@all_exist: я глубоко не вдумывался. Возможно, Вы правы. Но задачи такой практической направленности могут допускать численное решение с заданной точностью. На компьютере это всё легко считается.