Трапеция $%ABCD$%, $%AD$% и $%BC$% - основания, $%O$% - точка пересечения диагоналей. Площади $%\triangle{BCO}=a, \triangle{AOD}=b$%. Найти площадь трапеции.

задан 9 Окт '15 12:54

3

@Isaev, если записывать решение "напрямую", не искать "красивую запись" - то можно как-то так: треугольник $%COB$% ( с площадью $%S1$% ) подобен треугольнику $%AOD$% ( площади $%S2$% ) с коэффициентом подобия $%k = \sqrt{\frac{S1}{S2}}$%, т.е. можно записать, что $%BC = \sqrt{\frac{S1}{S2}}\cdot AD$% и $%h1 = \sqrt{\frac{S1}{S2}}\cdot h2$%, т.е. высота трапеции $%H = h1 + h2 = h2\cdot ( 1 + \sqrt{\frac{S1}{S2}} )$%, и дальше - подставьте выражения для $%BC$% и $%H$% в формулу площади трапеции - посмотрите, что получится ( Должно получиться так: $%S = S1 + S2 + 2\cdot \sqrt{S1\cdot S2}$% )

(9 Окт '15 14:06) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть площади $%S_{\triangle{BAO}}=S_1, S_{\triangle{OCD}}=S_2$%. Тогда $$S_1=S_2$$ и $$S_1 \cdot S_2 = ab$$ Значит, $$S_1=S_2=\sqrt{ab}$$ Тогда $$S_{ABCD}=a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2$$

ссылка

отвечен 9 Окт '15 14:07

@Роман83, у Вас красивее получилось =))
та самая "красивая запись" ( хорошая версия решения ), которую мне лень было искать.. ))

(9 Окт '15 14:11) ЛисаА

@Роман83, $% S_1 = S_2 и S_1 \cdot S_2 = a \cdot b $% Это я когда-то в детстве, видимо упустил) Из чего это следует?

(9 Окт '15 15:29) Isaev
1

@Isaev: Воспользуйтесь формулами площади треугольника $$S=\frac 12 ab \sin \alpha$$ и тем, что $$\sin \alpha= \sin (180^\circ -\alpha)$$

(9 Окт '15 15:52) Роман83
1

@Isaev: добавьте к площадям S1 и S2 нижний треугольник. Получатся два треугольника с общим основанием и высотой. Они имеют равную площадь. Значит, S1=S2.

Далее, если записать все площади как половины произведения сторон на синус угла и перемножить, то получится S1*S2=ab.

Есть и другие способы доказать то же самое (через отношения площадей треугольников с одинаковыми высотами).

(9 Окт '15 15:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,708
×239
×75

задан
9 Окт '15 12:54

показан
471 раз

обновлен
9 Окт '15 16:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru