Доказать, что кольца многочленов R[x] и матриц M_n(R) над первичным кольцом R первичны.

задан 9 Окт '15 13:00

Для кольца многочленов это доказывается просто через рассмотрение старших коэффициентов. Для матриц -- надо вспомнить идею доказательства (скорее всего, это не слишком сложно).

(9 Окт '15 16:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Пусть $%f(x),g(x)\in R[x]$% -- ненулевые многочлены с коэффициентами из первичного кольца $%R$%. Тогда у них можно выделить старшие коэффициенты: $%f(x)=ax^m+\cdots$%, $%g(x)=bx^n+\cdots$%, где $%a\ne0$%, $%b\ne0$%.

Предположим, что $%f(x)R[x]g(x)=0$%. В частности, $%f(x)\cdot cx\cdot g(x)=0$% для любого $%c\in R$% (в условии не сказано, что кольцо $%R$% с единицей, а то можно было бы посередине взять $%c$%). Очевидно, что $%f(x)cxg(x)=(ax^m+\cdots)cx(bx^n+\cdots)=acb\cdot x^{m+n+1}+\cdots$%, где все остальные одночлены имеют меньшую степень. Поскольку многочлен нулевой, все его коэффициенты равны нулю, то есть $%acb=0$% для всех $%c\in R$%. Тогда $%aRb=0$% при ненулевых $%a$% и $%b$%, что противоречит первичности кольца $%R$%.

2) Пусть $%A,B\in M_n(R)$%. Предположим, что $%A\ne0$%, $%B\ne0$%. Рассмотрим элементы $%a_{ij}\ne0$% и $%b_{kl}\ne0$%. Для произвольного $%c\in R$% рассмотрим матрицу $%C=ce_{jk}$%, у которой все элементы нулевые, а на пересечении $%j$%-й строки и $%k$%-го столбца находится $%c$%.

Из определения умножения матриц следует, что у произведения $%ACB$% на пересечении $%i$%-й строки и $%l$%-го столбца находится $%a_{ij}cb_{kl}$%. Поскольку элементы слева и справа ненулевые, а кольцо $%R$% первично, элемент $%c\in R$% можно выбрать таким, что $%a_{ij}cb_{kl}\ne0$%. Из этого следует, что $%ACB\ne0$%, то есть $%A\cdot M_n(R)\cdot B\ne0$%. Это доказывает, что кольцо матриц над первичным кольцом первично.

ссылка

отвечен 9 Окт '15 17:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×350
×98

задан
9 Окт '15 13:00

показан
435 раз

обновлен
9 Окт '15 17:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru