1) Доказать, что любой квадрат можно представить в виде суммы n не равных друг другу квадратов (n - произвольное целое число; n > 1)
2) Найти условия, при которых все квадраты будут целочисленными $$Правка (вариант\ формулировки)$$ Доказать геометрически (а не алгебраически!) наглядным способом, понятным школьнику, что для n-мерного линейного векторного пространства (ЛВП) справедлива теорема Пифагора: $$A^{2} = (a_1)^{2} + (a_2)^{2} + ... +\ (a_n)^{2}$$. Здесь:$$a_i$$(i = 1, 2, ... n) - компоненты (скалярные величины) вектора A по осям координат ЛВП $$0 < (A, a_1, a_2,...a_n) < ∞$$ n - произвольное натуральное число, n > 1. Ни одно основание правой части равенства не равно какому-либо другому из стоящих в ряду с ним.

Ответ\ уважаемой\ @DocentI. Я не пенсионер - я пишу условия задач почти уже из потустороннего мира... У башкир есть пословица: "Поешь мяса - оно застревает в зубах, не поешь - в голове". К чему это? К тому, что не решённая задача застрянет в голове всё равно, как бы Вы ни хотели не связываться больше с досадным типом. Да, у Вас много задач по работе, по обязанности, но когда Вы отдыхаете, неужели Вам не хочется переключиться на другие задачи - для развлечения?
Ответ DocentI Разумеется, нет! Лучше книжку почитать. Или грибы пособирать: в этом году на них урожай! А уж если захочется, выберу задачу интересную и хорошо сформулированную. Придумать хорошую задачу - гораздо труднее, чем решить!
Это\правда! На вкус и цвет товарища нет. Не забывайте, что грибы бывают и ядовитые.

задан 27 Авг '12 12:29

изменен 23 Сен '12 18:10

2

Вы имеет в виду геометрическое разбиение, не просто числа? И как Вы будете разбивать квадрат на 2? На три квадрата? Навскидку не помню, но, по-моему n должно быть не менее 6 (или 7).

(27 Авг '12 14:05) DocentI

Квадрат на два квадрата разбил ещё Пифагор, так что мне трудиться не приходится. А если можно разбить на два, то почему нельзя на три?

(28 Авг '12 8:39) nikolaykruzh...
2

Вы же пометили задачу как "геометрия". Хотя $%3^2+4^2=5^2$%, но квадрат со стороной 5 нельзя составить из квадратов со сторонами 3 и 4, не разрезая их. Поэтому я и уточняла, в каком смысле Вы понимаете слово "разбиение"

(28 Авг '12 13:50) DocentI

Я рассматриваю не цифровое равенство, а геометрическое: квадрат (как геометрическая фигура), построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов (геометрических фигур), построенных на катетах. Конечно, такое деление на геометрическую и арифметическую части довольно искусственное. Тем не менее, разрезание квадрата как технологический способ доказательства не входит в требование вопроса, поэтому я специально оговорил условие не ссылаться на теорему о равновеликости площадей. Надеюсь, что я объяснился довольно внятно.

(28 Авг '12 17:14) nikolaykruzh...

Боже, ну не надо! Еще одного wasnar я не переживу ;-))
В теореме Пифагора не квадрат есть сумма квадратов, а площадь большего квадрата равна сумме площадей двух других. Это соотношение для чисел. Иначе непонятно, что такое "сумма". Объединение, что ли?
Кстати, Вы ничего не сказали о том, должны ли стороны квадратов быть целыми числами.

(29 Авг '12 23:53) DocentI

Вы у нас - сильная! Вы обязаны пережить десятки wasnar. =)). Целочисленность сторон я оговорил бы в условии задачи. "Площадь большего квадрата равна сумме n других площадей квадратов" - почти дословно перенёс Ваш текст в свой. Такой вариант Вас устраивает?

(30 Авг '12 8:49) nikolaykruzh...

Под словом "квадрат" в вопросе имеется в виду геометрическая фигура или алгебраическая операция?

(3 Сен '12 17:36) Андрей Юрьевич

У меня, по замыслу, имеется в виду геометрическая фигура, но в математике ведь всё взаимосвязано, так что - трудно сказать. Начинанющий поэт несёт свои стихи к маститому. Тот бракует их, разносит в пух и прах. Этот поворачивается и, по совету бывалых поэтов, идёт к другому маститому, который - антипод первого маститого. С помощью нового мэтра он делает блестящие стихи и вновь несёт на показ к прежнему. Тот не верит, но - посрамлён! Так что геометрическая фигура и алгебраическая операция - два маститых поэта.

(15 Сен '12 17:44) nikolaykruzh...
1

Я же говорил, что у Вас чисто гуманитарный склад мышления, и, видимо, для того, чтобы Вы нормально сформулировали эту задачу, мне потребуется потратить столько же усилий, сколько на предыдущую. Итак, фигура - это множество точек, а алгебраическая операция - это отображение, т.е. правило, по которому одному элементу ставится в соответствие другой элемент. Это сущности разной природы. При чем тут два поэта?

(15 Сен '12 21:30) Андрей Юрьевич

Смысл вопроса совершенно изменился! Теперь Вы говорите не о существовании решения, а о связи между конкретными величинами.

(16 Сен '12 20:36) DocentI
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

Это всегда можно сделать. Любое число $%A^2, A\ne0$% можно разбить на $%n$% неравных положительных числа $%b_i, i=1..n$%, тогда можно взять $%a_i=\sqrt{b_i}$%.

ссылка

отвечен 16 Сен '12 19:25

А можно ли это сделать геометрически, как того требует условие задачи? Или надо брать отрезки, измерять их, извлекать корень квадратный из числа и т. д. - согласно Вашему способу?

(16 Сен '12 19:34) nikolaykruzh...

Можно, но не нужно. Плотник или столяр этим заниматься не будет. Имея современные компьютеры, это представление можно осуществить бесконечным числом способов, на любой вкус (так немцы и делают).

(16 Сен '12 19:46) Anatoliy

Ну, если так, то полностью согласен с Вами. Но как быть, если я имел в виду совершенно другой ответ? Помнится, Вы и пирамиду резать не хотели под произвольным углом, а @vvvv сделал это. Так что давайте подождём другие варианты ответов. (Я очень ценю Вас, но боюсь, что Вы обидитесь: кто старое вспомянет - тому глаз вон. Или мне не надо этого бояться?)... Как это превосходно: моментально получать ответ и тут же отвечать! Я даже не знаю, где Вы сидите, может, на краю света, а обмен мнениями идёт непрерывно. Великое изобретение человечества- Интернет!.. А где Вы сидите, кстати, если это не секрет?

(16 Сен '12 20:11) nikolaykruzh...

Я не против, обижаться я не стану. Я сейчас нахожусь дома.

(16 Сен '12 20:21) Anatoliy

Опять непонятно, что значит "геометрически"? Взять квадрат стороной A и резать на квадратики? На 2 или 3 - точно не получится. Или Вы предлагаете строить геометрически отрезки с длинами, равными $%a_i$%? Должны ли они быть целыми? Только в этом случае задача имеет смысл как задача существования.

(16 Сен '12 20:34) DocentI

Когда задача не решена, она вызывает тысячи недоуменных вопросов, а когда её решили - разочарование: ну что тут сложного? "Или Вы предлагаете строить геометрические отрезки с длинами, равными $$a_i$$? Должны ли они быть целыми?" - Именно: строить! Целыми отрезки могут и не быть

(16 Сен '12 21:30) nikolaykruzh...

В таком виде задача меня не интересует.более, что у Вас она формулируется то на плоскости, то в многомерном пространстве. Это "две большие разницы".

(16 Сен '12 22:46) DocentI

Не верю: есть задача, и Вы не хотите её решать? Атомная бомба была создана против воли её создателей, которые искали Истину. Химическое, биологическое оружие создавались из-за желания найти Истину. Поиск Истины - это безусловный рефлекс всякого талантливого существа, к которым я всегда относил и Вас. Вы меня разочаровали. Вернее, так: я в Вас почти разочаровался. Конечно, представить квадрат в виде суммы нескольких квадратов - это не клонирование овечки Долли, но тоже задача, в Вашей голове ещё не решённая. Неужели Вы устоите? (Молчание - знак согласия)

(17 Сен '12 14:31) nikolaykruzh...

Сколько раз я давала себе слово не ввязываться в Ваши задачи, даже не читать. И опять не сдерживаю его.
Вы, наверное, пенсионер? Ну а я - нет. И задач у меня хватает, так что я выбираю из них интересные. Тем более, что мне подкинули доп. работу: за 3 недели составить комплект из 80(!) задач для разных классов. Как вы думаете, мне хватает над чем подумать?

(17 Сен '12 15:10) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

Школьнику нельзя объяснить это обобщение теоремы Пифагора, так как он не знает, что такое линейное пространство. И не может геометрически представить себе пространство размерности больше 3. Как, впрочем, и любой другой человек.

Многомерное пространство это, по сути, алгебраический, числовой объект, в котором можно усмотреть некоторые аналогии с геометрическими пространством и плоскостью.

А для трехмерного случая эту теорему проходят в школе.

И вообще вопрос ни о чем. Он у Вас меняет свой смысл по мере возникновения комментариев и ответов, так что уже и непонятно, на что отвечать...

ссылка

отвечен 16 Сен '12 20:38

изменен 16 Сен '12 20:41

Да, на вопросы ни о чём Вы умеете отвечать так же эффектно, с блеском, как и на серьёзные математические.

(16 Сен '12 21:53) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Строим прямоугольный треугольник с достаточно солидной по величине гипотенузой, имеющей, например, mn единиц длины (m > n(n+1)(2n+1)/6)(m, n - целые числа).Принимаем к построению один катет, равный 1 единице длины. Величина другого катета равна $%((mn)^{2} - 1)^{1/2}$%. На этом последнем катете, принимая его за гипотенузу, строим ещё один прямоугольный треугольник, у которого меньший катет имеет размер 2 единицы длины. Другой катет имеет размер $%((mn)^{2} - 1 - 2^{2})^{1/2}$%, далее: 3 единицы длины и: $%((mn)^{2} - 1 - 2^{2} - 3^{2})^{1/2}$%, и т. д. Остальное понятно без пояснений. Условие целочисленности последнего катета сводится к целочисленности выражения $%((mn)^{2} -\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6})^{1/2}$%

ссылка

отвечен 29 Окт '13 17:24

изменен 29 Окт '13 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,328

задан
27 Авг '12 12:29

показан
1409 раз

обновлен
29 Окт '13 21:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru