|
Петя, Миша и Вася играют в следующую игру. В каждом раунде трое наугад называют одно из трех чисел: либо 1, либо 2, либо 3. Число 3 побеждает 2, 2 побеждает 1, а 1 побеждает 3. Если же в какой-то момент игры одно число было сказано двумя игроками одновременно, то игрок (игроки), сказавший число-победителя, получит один балл. В любом другом случае никто баллы не получает. После окончания игры оказалось, что все числа были показаны одинаковое число раз. Нужно доказать, в конце игры общая сумма всех баллов была кратна трем. задан 10 Окт '15 18:51 
NataliaIvanova |
|
Ясно, что можно исключить из рассмотрения ситуации 123, потому что в них никто баллов не получал, и все числа были названы по 1 разу. В раундах с исходами 221, 113, 332 игроки получили 2 балла, а в раундах 223, 112 и 331 - 1 балл. В раундах 111, 222, 333 баллов не было. Обозначим кол-ва раундов каждого вида буковками от $%a$% до $%i$% (в том порядке, в котором выше перечислены исходы раундов). Количество единиц равно $%N=2b+a+2e+f+3g$%, количество двоек равно $%N=2a+c+2d+e+3h$%, а троек - $%N=b+2c+d+2f+3i$%. Общая сумма баллов равна $%2a+2b+2c+d+e+f$%, что равно $%2(2a+c+2d+e+3h)+(2b+a+2e+f+3g)-(3a+3d+3e+3g+6h)=$% $%=3(N-a-d-e-g-2h)$%. То есть кратно 3. отвечен 10 Окт '15 19:57 
knop |
|
Введём обозначение $%a_{ij}$% для количества случаев, когда были названы числа $%i$%, $%i$%, $%j$%. Приравняем количества показанных единиц, двоек и троек: $%2a_{12}+2a_{13}+a_{21}+a_{31}=2a_{21}+2a_{23}+a_{12}+a_{32}=2a_{31}+2a_{32}+a_{13}+a_{23}$%. Общая сумма баллов равна $%S=a_{12}+a_{23}+a_{31}+2(a_{21}+a_{32}+a_{13})$%. Из двух уравнений можно выразить $%a_{23}=a_{13}+a_{31}-a_{21}$% и $%a_{32}=a_{12}+a_{21}-a_{31}$%. Подставляя эти выражения, имеем $%S=3(a_{12}+a_{13}+a_{21})$%, то есть сумма баллов кратна трём. То, что получилось не симметричное выражение, ничему не противоречит, потому что в силу имеющихся равенств получается то же самое, если индексы циклически сдвинуть. Наверное, здесь есть и более короткое решение, без формул. отвечен 10 Окт '15 19:45 
falcao Еще бывают ситуации $%i,i,i$%
(10 Окт '15 19:59)
knop
@knop: так в этом случае баллы не начисляются, насколько я понимаю. Как и для чисел 123.
(10 Окт '15 20:23)
falcao
|