|
По определению, арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число в, n-я степень которого равна а. Что касается алгебраического корня, то здесь понятие шире, поскольку нет требования неотрицательности: алгебраическим корнем n-й степени из числа а называется число в, n-я степень которого равна а. Вроде все ясно. А вопрос такой: а в каких случаях какой корень используется? Скажем попалось уравнение с корнями - так какой именно корень имеется в виду? Как это узнать? Перенесено из ответа. При извлечении алгебраического корня слева и справа получаются четыре возможных варианта, из которых различных только два - икс равен плюс-минус единице. Теперь такой вопрос - скорее, качественный. При решении уравнения икс в квадрате равен единице можно использовать как арифметический, так и алгебраический корни. Решение при этом получается одно и то же: икс равен плюс-минус единице. Но почему так получается? Ведь при использовании арифметического корня мы просто отбрасываем минус единицу при извлечении корня из единицы. Формально я понимаю, почему все же решение получается полное - потому что при извлечении корня из икса в квадрате получаем модуль икса, оттуда минус и вылезает. Но это формально. А как КАЧЕСТВЕННО объяснить тот факт, что мы не теряем решение, хотя сначала чем-то там пренебрегаем? Дополнение DocentI. Комментарии растянулись в огромную змею, поэтому пишу здесь. При использовании арифметического корня мы ничего не отбрасываем. В уравнении $%x^2=1$% x - это число. Но чисел, удовлетворяющих такому уравнению, может быть несколько. Чтобы записать все решения уравнения $%x^n = a$% поступают так: выбирают из них один (который нам больше нравится, обозначим его за $%s_0$%), а остальные выражают через него. Как выбирают? Если можно - берут положительный корень (его называют арифметическим). Если нет положительного - действительный (отрицательный). Если нет и действительного, никакой и не выбирают (в "школьной" математике говорят, что корня нет). Как выражают остальные решения через выбранное? По заранее доказанным правилам. Для четного n - берем $%s_0$% и $%-s_0$%. Если n нечетно - только $%s_0$%. В случае комплексных корней правила сложнее. Почему получаем правильное решение? Потому что эта задача решена математиками, описанные выше правила доказаны и внесены в школьную программу. задан 28 Авг '12 16:59 
Дмитрий12 |
|
Все определяется условием. Если уравнение решается на множестве действительных чисел, и приходиться находить корень п-й степени, то нужно брать арифметический корень и противоположный ему (если арифметический корень существует). Эти два корня составляют алгебраические корни. Если же уравнение вида $%x^n=a$% решается на множестве комплексных чисел, то при $%a\ne 0$% будем иметь $%n$% различных корней, среди которых может быть один арифметический. Примеры. 1) Найти действительные корни уравнения $%x^4=3$%. Решение: $%x_1=\sqrt[4]{3}{},x_2=-\sqrt[4]{3}{}$%. Имеем два корня, один из которых арифметический (для него введено такое обозначение), другой выражается через арифметический. 2)Решить уравнение $%x^4=3$% на множестве комплексных чисел. Решение: $%x_1=\sqrt[4]{3}{},x_2=-\sqrt[4]{3}{},x_3=\sqrt[4]{3}{}i,x_4=-\sqrt[4]{3}i,$%. Имеем четыре корня, один из которых арифметический. 3)Найти действительные корни уравнения $%x^3=-3$%. Решение: $%x=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$%. В данном случае не арифметический корень можно выразить через арифметический - одна из главных причин, по которой и ввели понятие арифметического корня и обозначение для него. Учитель в школе должен правильно вводить понятие корня $%n$%-й степени и арифметического корня $%n$%-й степени. Примерно так: 1)Корнем $%n$% степени из числа $%a$% называют такое число $%n$%-я степень, которого равна $%a$%. 2)Далее нужно рассмотреть случай четного и нечетного $%n$%. 3)Вводим понятие арифметического корня и обозначение для него. 4) Указываем на то, что при нечетном $%n$% и при любом $%a$% всегда существует единственный действительный корень $%n$%-й степени, этот единственный корень обозначают также как и арифметический (при $%a\ge0$% он будет арифметическим). Вот, что на самом деле у Киселева:
отвечен 28 Авг '12 17:43 
Anatoliy То есть фраза "... нужно брать арифметический корень и противоположный ему (если арифметический корень существует)" означает, что надо брать алгебраический корень. Однако по моим наблюдениям чаще используется именно арифметический корень! В общем, непонятно...
(28 Авг '12 18:56)
Дмитрий12
Нет ясного ответа, когда какой корень используется. Я не могу понять, почему корень кубический из минус единицы равен минус единице, а корень квадратный из единицы - только плюс единице. Почему игнорируется минус единица?
(2 Сен '12 11:08)
Карп
Внимательно прочитайте мой ответ.
(2 Сен '12 11:15)
Anatoliy
Арифметический корень принадлежит множеству алгебраических корней. Он используется как образующий для представления остальных корней (наряду с мнимой единицей $%i$% в множестве комплексных чисел). Успехов Вам.
(2 Сен '12 22:51)
Anatoliy
Корень (радикал) - это функция, обратная к степени. Как всякая функция, она не может иметь в одной точке два значения.
(3 Сен '12 1:05)
DocentI
К сожалению, не могу найти учебник по алгебре Киселева. Интересно, а что в нем написано по этому вопросу?
(3 Сен '12 20:27)
Карп
По адресу http://www.egesdam.ru/page260.php заданный вопрос обсуждается. Но ясности опять нет. Написано там так: "... Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические. Хотя особо об этом не упоминается." Естественно задать вопрос: то есть как это отрицательные результаты "попросту отбрасываются"?! ПОЧЕМУ ОТБРАСЫВАЮТСЯ-ТО? - вот вопрос!
(3 Сен '12 20:55)
Карп
Ну что Вы опять не понимаете? Отбрасываются ради однозначности функции $%\sqrt{*}.$%
(3 Сен '12 22:42)
DocentI
Да не в том дело, что я не понимаю. Проблема в том, что вы, уважаемые специалисты, не понимаете, поскольку не можете объяснить простой вопрос. А из Вашего последнего ответа напрашиваются, как минимум, еще два вопроса: а) а почему отбрасывается именно отрицательный корень, а не положительный? б) а что это за такая священная корова -"однозначность функции" - что ради нее надо совершать непонятные действия? И что мешает нам рассматривать многозначные функции?
(4 Сен '12 11:29)
Карп
Почему отбрасывается отрицательный корень? Потому что положительный - привычнее, проще. Можно сказать, из эстетических соображений. Вы, при желании, можете ввести свое определение.
(4 Сен '12 17:31)
DocentI
Если корень (радикал) используется в уравнении, например, $%\sqrt{x^2-2x} = x$%, то это, безусловно, арифметический корень. Если же мы ищем решение уравнения, то можно написать $%x = \pm \sqrt{a}$%. Заметьте, что сам радикал здесь обозначает положительное число, именно поэтому ему приходится извне приписывать знак. Корень как решение и корень как радикал - не одно и то же!
(9 Сен '12 23:29)
DocentI
показано 5 из 11
показать еще 6
|
|
Тут идет смешение двух понятий: отвечен 29 Авг '12 0:36 
DocentI Я думаю, что в моем объяснении понятно о каких корнях идет речь. Что касается того, что в школе и на первом курсе имеют дело с радикалом как с арифметическим корнем, то что Вы можете сказать о выражении. $%\sqrt[5]{-8}$%? А ведь ученики используют эту запись, например, при решении уравнения $%x^5=-8$%.
(29 Авг '12 12:21)
Anatoliy
Понятно? Кому как... Раз у человека вообще возникает такой вопрос.
(29 Авг '12 23:42)
DocentI
Арифметический корень всегда неотрицательный. Алгебраический корень - это множество. Арифметический корень - возможный элемент этого множества. Обратите внимание на $%arcsin(a)$% и $%Arcsin(a)$%.
(30 Авг '12 20:05)
Anatoliy
А как же быть с корнями кубическими? Ясно, что в степень 1/3 можно возводить только положительное число. Но, вроде $%\sqrt[3]{-1}=-1$%. Какой это корень? Впрочем, это все спор о терминах. Большого смысла он не имеет.
(30 Авг '12 23:38)
DocentI
В степень 1/3 можно возводить неотрицательные числа, $%\sqrt[3]{-1}$% - один из алгебраических корней.
(31 Авг '12 10:25)
Anatoliy
Хорошо, что есть мнения по этому вопросу. Плохо, что ясности не прибавляется.
(31 Авг '12 20:39)
Дмитрий12
@Дмитрий12, мы спорим с @Anatoliy только о терминологии. Если рассматривать только квадратный корень, то наши мнения совпадают. Да и вообще мне нравится точка зрения @Anatoliy.
(1 Сен '12 0:04)
DocentI
Кстати, @Anatoliy, даже в известных учебниках нет единообразия. Например, в учебнике Демидовича (и не в нем одном) уравнение астроиды пишется как $%x^{2\over 3}+y^{2\over 3}=a^{2\over 3}$%. Но какая же это астроида (т.е. "звездная"), если x и y > 0?
(1 Сен '12 0:20)
DocentI
В определении степени с действительным основанием оговорено, что если основание степени $%0$% и показатель степени $%d>0$%, то принимают $%0^d=0$%. Что касается равенства $%0^\frac{1}{3}=0^\frac{-1}{-3}=(0^-\frac{1}{3})^{-1}$%, то последний переход запрещен (манипулирование, например,$%\sqrt{1}=\sqrt{(-1)\cdot(-1)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}$%).
(1 Сен '12 11:58)
Anatoliy
показано 5 из 9
показать еще 4
|
|
Вопрос понятен: "Что означает значок радикала?". Действительно, есть некоторая путаница, связанная с вольным использованием этого значка и с тем, что алгебраический корень - это не одно значение, а множество. Мне кажется, можно сказать так: знак радикала всегда означает некоторое ОДНО значение из множества значений алгебраического корня. Для положительного числа - это арифметический корень, для отрицательного - действительное значение (если оно существует). Продолжение. Интерпретация процесса решения уравнения $%x^2=1$% как извлечение из правой части алгебраического корня, а из левого арифметического не совсем правильна. Более правильно просто считать, что имеет место теорема: "Корни уравнения $%x^n=a$% - это все значения алгебраического корня $%n$%-й степени из $%a$%". Теорема легко доказывается на основе определения алгебраического корня. отвечен 3 Сен '12 17:14 
Андрей Юрьевич Ну вот, теперь уже говорим по сути. Значит.. (остальное перенесено в вопрос - @Андрей Юрьевич).
(9 Сен '12 13:34)
Карп
Вот от этой "вольности" (где это не нужно) нужно и уходить. В современных учебниках этот вопрос конкретизирован. Кстати, это и поясняли авторы предыдущих ответов.
(9 Сен '12 14:48)
Anatoliy
По определению решение уравнения $%x^n=a$% - это алгебраический корень $%n-й$% степени из $%a$%, который представляет, вообще говоря, множество значений (из них действительных - не более двух). Одно из этих действительных значений при четном $%n$% называется арифметическим корнем $%n$%-й степени. Но это частный случай. Уравнение $%x^2=1$% имеет общее решение - алгебраический квадратный корень из 1, который, в свою очередь, имеет 2 значения +1 (арифметический корень) и -1. В чем проблема?
(9 Сен '12 16:00)
Андрей Юрьевич
Проблема в следующем. Чтобы решить это уравнение, надо слева и справа извлечь корень. Если это алгебраический корень, то справа получается плюс-минус единица. Тогда слева надо писать (по той же логике) плюс-минус икс, а не просто икс. Как все это объясните?
(9 Сен '12 16:07)
Карп
Никаких проблем нет. Переменная в уравнении отображает (представляет) множество (возможно и пустое) решений уравнения. В процессе решения уравнения эти корни конкретизируются (формируется множество решений). Вот для этой конкретизации и используются обозначения для арифметического корня, логарифма и т. д..
(9 Сен '12 16:45)
Anatoliy
Анатолий, а попроще? Конкретный вопрос: перед иксом надо ставить плюс-минус или нет? (у Киселева - в других примерах - ставится. А в этом примере - нет)
(9 Сен '12 17:06)
Карп
Все должно стоять там, где нужно. Нет.
(9 Сен '12 17:41)
Anatoliy
Угу... В общем, в очередной раз убеждаюсь в правоте то ли Понтрягина, то ли Арнольда, сказавшего: "Хороших математиков у нас немало, а вот хороших преподавателей математики - по пальцам сосчитать".
(9 Сен '12 18:04)
Карп
Правильно сказали.
(9 Сен '12 20:12)
Anatoliy
Операция одновременного извлечения корня из обоих частей уравнения имеет смысл только в том случае, если и слева, и справа берется только одно (вполне определенное!) значение алгебраического корня (например, арифметический корень). Если мы будем так решать уравнение, то придется на этом шаге превратить его в совокупность, приравняв каждое значение левого корня каждому значению правого. Но в этом нет необходимости. Можно просто считать (по определению), что общее решение уравнения $%x^n=a$% - это $%x=$%{все значения алгебраического квадратного корня $%n$%-й степени из $%a$%}
(9 Сен '12 21:54)
Андрей Юрьевич
Пошагово. Пусть $%x^2 = 1$%. Значит, x принадлежит к множеству алгебраических корней из 1 (это и есть определение алгебраического корня). Это множество состоит из двух элементов: 1 и -1. Это и есть все возможные решения уравнения.
(10 Сен '12 11:41)
DocentI
Нет, так не пойдет. Пошагово - это пошагово: берем алгебраический корень слева и справа. Алгебраический корень справа будет равен плюс-минус единице. Как запишем алгебраический корень из икс в квадрате - как икс или как плюс-минус икс?
(10 Сен '12 17:16)
Карп
Можно, конечно написать совокупность из 4-х равенств $%x=1, \; x=-1, \; -x=1, \;-x=-1 \;$%, которая эквивалентна совокупности из двух равенств $%x=1,x=-1$%, которую, в свою очередь можно записать короче $%x= \pm 1$%, но это все слишком длинно, поэтому записывают только последнее равенство.
(10 Сен '12 18:37)
Андрей Юрьевич
показано 5 из 14
показать еще 9
|
|
Предполагаю, что примеры в ответе Anatoliy можно сформулировать следующим образом: $%x \in \mathbb{R} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}, \ \sqrt[4]{3}\})$%, при этом $%x = \sqrt[4]{3} \rightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}, \ \sqrt[4]{3}\}$% $%x \in \mathbb{C} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}, \ \sqrt[4]{3}, \ - \sqrt[4]{3i}, \ \sqrt[4]{3i}\})$% $%x \in \mathbb{R} \rightarrow (x^3 = -3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[3]{3}\})$% Вышеуказанные примеры можно дополнить следующими примерами: $%x \in \mathbb{Z} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \varnothing)$% $%x \in \mathbb{R} \setminus \{- \sqrt[4]{3}\} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{\sqrt[4]{3}\})$% $%x \in \mathbb{R} \setminus \{\sqrt[4]{3}\} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}\})$% отвечен 9 Сен '12 23:14 
Галактион |
В уравнениях "с корнями", т.е. с радикалами, этот символ означает главное значение корня. В более строгих книгах он применяется только к неотрицательным числам. Но чаще корни нечетной степени допустимо извлекать и из отрицательных чисел (тогда результат тоже отрицателен).
В "школьных" задачах (т.е. в области действительных чисел) выражение $%\sqrt 4$% никогда не будет иметь два значения (2 и -2).