По определению, арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число в, n-я степень которого равна а. Что касается алгебраического корня, то здесь понятие шире, поскольку нет требования неотрицательности: алгебраическим корнем n-й степени из числа а называется число в, n-я степень которого равна а. Вроде все ясно. А вопрос такой: а в каких случаях какой корень используется? Скажем попалось уравнение с корнями - так какой именно корень имеется в виду? Как это узнать?

Перенесено из ответа. При извлечении алгебраического корня слева и справа получаются четыре возможных варианта, из которых различных только два - икс равен плюс-минус единице. Теперь такой вопрос - скорее, качественный. При решении уравнения икс в квадрате равен единице можно использовать как арифметический, так и алгебраический корни. Решение при этом получается одно и то же: икс равен плюс-минус единице. Но почему так получается? Ведь при использовании арифметического корня мы просто отбрасываем минус единицу при извлечении корня из единицы. Формально я понимаю, почему все же решение получается полное - потому что при извлечении корня из икса в квадрате получаем модуль икса, оттуда минус и вылезает. Но это формально. А как КАЧЕСТВЕННО объяснить тот факт, что мы не теряем решение, хотя сначала чем-то там пренебрегаем?

Дополнение DocentI. Комментарии растянулись в огромную змею, поэтому пишу здесь.

При использовании арифметического корня мы ничего не отбрасываем. В уравнении $%x^2=1$% x - это число. Но чисел, удовлетворяющих такому уравнению, может быть несколько.
Множество таких чисел образует "алгебраический корень" из 1. Как его обозначить? Собственно, адекватного обозначения нет, потому что запись вида $%\sqrt a$% задает одно значение корня, а не все. В ТФКП использую знак $%\sqrt[n] {*}$%, но это нестрого.

Чтобы записать все решения уравнения $%x^n = a$% поступают так: выбирают из них один (который нам больше нравится, обозначим его за $%s_0$%), а остальные выражают через него. Как выбирают? Если можно - берут положительный корень (его называют арифметическим). Если нет положительного - действительный (отрицательный). Если нет и действительного, никакой и не выбирают (в "школьной" математике говорят, что корня нет).

Как выражают остальные решения через выбранное? По заранее доказанным правилам. Для четного n - берем $%s_0$% и $%-s_0$%. Если n нечетно - только $%s_0$%. В случае комплексных корней правила сложнее.

Почему получаем правильное решение? Потому что эта задача решена математиками, описанные выше правила доказаны и внесены в школьную программу.

задан 28 Авг '12 16:59

изменен 11 Сен '12 16:47

DocentI's gravatar image


9.8k937

В уравнениях "с корнями", т.е. с радикалами, этот символ означает главное значение корня. В более строгих книгах он применяется только к неотрицательным числам. Но чаще корни нечетной степени допустимо извлекать и из отрицательных чисел (тогда результат тоже отрицателен).
В "школьных" задачах (т.е. в области действительных чисел) выражение $%\sqrt 4$% никогда не будет иметь два значения (2 и -2).

(1 Сен '12 0:24) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Все определяется условием. Если уравнение решается на множестве действительных чисел, и приходиться находить корень п-й степени, то нужно брать арифметический корень и противоположный ему (если арифметический корень существует). Эти два корня составляют алгебраические корни. Если же уравнение вида $%x^n=a$% решается на множестве комплексных чисел, то при $%a\ne 0$% будем иметь $%n$% различных корней, среди которых может быть один арифметический.

Примеры.

1) Найти действительные корни уравнения $%x^4=3$%. Решение: $%x_1=\sqrt[4]{3}{},x_2=-\sqrt[4]{3}{}$%. Имеем два корня, один из которых арифметический (для него введено такое обозначение), другой выражается через арифметический.

2)Решить уравнение $%x^4=3$% на множестве комплексных чисел. Решение: $%x_1=\sqrt[4]{3}{},x_2=-\sqrt[4]{3}{},x_3=\sqrt[4]{3}{}i,x_4=-\sqrt[4]{3}i,$%. Имеем четыре корня, один из которых арифметический.

3)Найти действительные корни уравнения $%x^3=-3$%. Решение: $%x=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$%. В данном случае не арифметический корень можно выразить через арифметический - одна из главных причин, по которой и ввели понятие арифметического корня и обозначение для него.

Учитель в школе должен правильно вводить понятие корня $%n$%-й степени и арифметического корня $%n$%-й степени. Примерно так: 1)Корнем $%n$% степени из числа $%a$% называют такое число $%n$%-я степень, которого равна $%a$%. 2)Далее нужно рассмотреть случай четного и нечетного $%n$%. 3)Вводим понятие арифметического корня и обозначение для него. 4) Указываем на то, что при нечетном $%n$% и при любом $%a$% всегда существует единственный действительный корень $%n$%-й степени, этот единственный корень обозначают также как и арифметический (при $%a\ge0$% он будет арифметическим).

Вот, что на самом деле у Киселева:

alt text

ссылка

отвечен 28 Авг '12 17:43

изменен 9 Сен '12 22:26

То есть фраза "... нужно брать арифметический корень и противоположный ему (если арифметический корень существует)" означает, что надо брать алгебраический корень. Однако по моим наблюдениям чаще используется именно арифметический корень! В общем, непонятно...

(28 Авг '12 18:56) Дмитрий12

Нет ясного ответа, когда какой корень используется. Я не могу понять, почему корень кубический из минус единицы равен минус единице, а корень квадратный из единицы - только плюс единице. Почему игнорируется минус единица?

(2 Сен '12 11:08) Карп

Внимательно прочитайте мой ответ.

(2 Сен '12 11:15) Anatoliy

Арифметический корень принадлежит множеству алгебраических корней. Он используется как образующий для представления остальных корней (наряду с мнимой единицей $%i$% в множестве комплексных чисел). Успехов Вам.

(2 Сен '12 22:51) Anatoliy

Корень (радикал) - это функция, обратная к степени. Как всякая функция, она не может иметь в одной точке два значения.
Если $%y = \sqrt[n]{x}$% то $%y^n = x$%. Последнее уравнение может иметь несколько решений, но в качестве корня (радикала) выбирается одно, "главное".
Для положительных чисел x всегда можно выбрать в качестве y положительное решение. При нечетных n только одно решение действительное, остальные - комплексные.

(3 Сен '12 1:05) DocentI

К сожалению, не могу найти учебник по алгебре Киселева. Интересно, а что в нем написано по этому вопросу?

(3 Сен '12 20:27) Карп

По адресу http://www.egesdam.ru/page260.php заданный вопрос обсуждается. Но ясности опять нет. Написано там так: "... Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические. Хотя особо об этом не упоминается." Естественно задать вопрос: то есть как это отрицательные результаты "попросту отбрасываются"?! ПОЧЕМУ ОТБРАСЫВАЮТСЯ-ТО? - вот вопрос!

(3 Сен '12 20:55) Карп

Ну что Вы опять не понимаете? Отбрасываются ради однозначности функции $%\sqrt{*}.$%
Аналогично уравнение $%\sin x = y$% имеет много (бесконечное число) корней, но в качестве $%arcsin y$% выбирается только тот, что лежит в промежутке $%[-\pi/2;\pi/2]$%, остальные отбрасываются.

(3 Сен '12 22:42) DocentI

Да не в том дело, что я не понимаю. Проблема в том, что вы, уважаемые специалисты, не понимаете, поскольку не можете объяснить простой вопрос. А из Вашего последнего ответа напрашиваются, как минимум, еще два вопроса: а) а почему отбрасывается именно отрицательный корень, а не положительный? б) а что это за такая священная корова -"однозначность функции" - что ради нее надо совершать непонятные действия? И что мешает нам рассматривать многозначные функции?

(4 Сен '12 11:29) Карп

Почему отбрасывается отрицательный корень? Потому что положительный - привычнее, проще. Можно сказать, из эстетических соображений. Вы, при желании, можете ввести свое определение.
Что мешает нам рассматривать многозначные функции? Ничего не мешает, и математики их рассматривают. Вот только они - не функции. В частности, в комплексной области нет разумного способа выбрать "главное" значение корня, поэтому он заранее считается многозначной функцией.

(4 Сен '12 17:31) DocentI

Если корень (радикал) используется в уравнении, например, $%\sqrt{x^2-2x} = x$%, то это, безусловно, арифметический корень. Если же мы ищем решение уравнения, то можно написать $%x = \pm \sqrt{a}$%. Заметьте, что сам радикал здесь обозначает положительное число, именно поэтому ему приходится извне приписывать знак.
Фраза об арифметическом и еще одном корне говорит, что решением (корнем) уравнения будет не только арифметический корень, но иногда и другие (действительные) значения алгебраического корня.

Корень как решение и корень как радикал - не одно и то же!

(9 Сен '12 23:29) DocentI
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут идет смешение двух понятий:
- "корень" как решение задачи (например, корень многочлена) и
- "корень" как радикал, $%\sqrt{*}$%.
Хорошо бы @Anatoliy уточнить свое решение в этом смысле.
Корень как радикал в школьной математике (и на первом курсе вуза, т.е. до введения комплексных чисел) - всегда арифметический. Корень уравнения, конечно, может быть отрицательным.

ссылка

отвечен 29 Авг '12 0:36

изменен 29 Авг '12 0:39

Я думаю, что в моем объяснении понятно о каких корнях идет речь. Что касается того, что в школе и на первом курсе имеют дело с радикалом как с арифметическим корнем, то что Вы можете сказать о выражении. $%\sqrt[5]{-8}$%? А ведь ученики используют эту запись, например, при решении уравнения $%x^5=-8$%.

(29 Авг '12 12:21) Anatoliy

Понятно? Кому как... Раз у человека вообще возникает такой вопрос.
Согласна с поправкой, что арифметический корень не всегда положительный (если рассматривать корень степени больше 2). Но он всегда единственный.
Думаю, вообще понятие алгебраического корня имеет смыл и пользу только в поле комплексных чисел.

(29 Авг '12 23:42) DocentI

Арифметический корень всегда неотрицательный. Алгебраический корень - это множество. Арифметический корень - возможный элемент этого множества. Обратите внимание на $%arcsin(a)$% и $%Arcsin(a)$%.

(30 Авг '12 20:05) Anatoliy

А как же быть с корнями кубическими? Ясно, что в степень 1/3 можно возводить только положительное число. Но, вроде $%\sqrt[3]{-1}=-1$%. Какой это корень? Впрочем, это все спор о терминах. Большого смысла он не имеет.

(30 Авг '12 23:38) DocentI

В степень 1/3 можно возводить неотрицательные числа, $%\sqrt[3]{-1}$% - один из алгебраических корней.

(31 Авг '12 10:25) Anatoliy

Хорошо, что есть мнения по этому вопросу. Плохо, что ясности не прибавляется.

(31 Авг '12 20:39) Дмитрий12

@Дмитрий12, мы спорим с @Anatoliy только о терминологии. Если рассматривать только квадратный корень, то наши мнения совпадают. Да и вообще мне нравится точка зрения @Anatoliy.
Единственно, не соглашусь, что 0 можно возводить в степень. Например, $%0^{1\over 3} = 0^{-1\over -3} = (0^{-{1\over 3}})^{-1}$%. Но в последнем выражении внутренняя степень не имеет смысла (как отрицательная степень 0).

(1 Сен '12 0:04) DocentI

Кстати, @Anatoliy, даже в известных учебниках нет единообразия. Например, в учебнике Демидовича (и не в нем одном) уравнение астроиды пишется как $%x^{2\over 3}+y^{2\over 3}=a^{2\over 3}$%. Но какая же это астроида (т.е. "звездная"), если x и y > 0?

(1 Сен '12 0:20) DocentI

В определении степени с действительным основанием оговорено, что если основание степени $%0$% и показатель степени $%d>0$%, то принимают $%0^d=0$%. Что касается равенства $%0^\frac{1}{3}=0^\frac{-1}{-3}=(0^-\frac{1}{3})^{-1}$%, то последний переход запрещен (манипулирование, например,$%\sqrt{1}=\sqrt{(-1)\cdot(-1)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}$%).

(1 Сен '12 11:58) Anatoliy
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вопрос понятен: "Что означает значок радикала?". Действительно, есть некоторая путаница, связанная с вольным использованием этого значка и с тем, что алгебраический корень - это не одно значение, а множество.

Мне кажется, можно сказать так: знак радикала всегда означает некоторое ОДНО значение из множества значений алгебраического корня. Для положительного числа - это арифметический корень, для отрицательного - действительное значение (если оно существует).

Продолжение. Интерпретация процесса решения уравнения $%x^2=1$% как извлечение из правой части алгебраического корня, а из левого арифметического не совсем правильна. Более правильно просто считать, что имеет место теорема: "Корни уравнения $%x^n=a$% - это все значения алгебраического корня $%n$%-й степени из $%a$%". Теорема легко доказывается на основе определения алгебраического корня.

ссылка

отвечен 3 Сен '12 17:14

изменен 11 Сен '12 13:27

Ну вот, теперь уже говорим по сути. Значит.. (остальное перенесено в вопрос - @Андрей Юрьевич).

(9 Сен '12 13:34) Карп

Вот от этой "вольности" (где это не нужно) нужно и уходить. В современных учебниках этот вопрос конкретизирован. Кстати, это и поясняли авторы предыдущих ответов.

(9 Сен '12 14:48) Anatoliy

По определению решение уравнения $%x^n=a$% - это алгебраический корень $%n-й$% степени из $%a$%, который представляет, вообще говоря, множество значений (из них действительных - не более двух). Одно из этих действительных значений при четном $%n$% называется арифметическим корнем $%n$%-й степени. Но это частный случай. Уравнение $%x^2=1$% имеет общее решение - алгебраический квадратный корень из 1, который, в свою очередь, имеет 2 значения +1 (арифметический корень) и -1. В чем проблема?

(9 Сен '12 16:00) Андрей Юрьевич

Проблема в следующем. Чтобы решить это уравнение, надо слева и справа извлечь корень. Если это алгебраический корень, то справа получается плюс-минус единица. Тогда слева надо писать (по той же логике) плюс-минус икс, а не просто икс. Как все это объясните?

(9 Сен '12 16:07) Карп

Никаких проблем нет. Переменная в уравнении отображает (представляет) множество (возможно и пустое) решений уравнения. В процессе решения уравнения эти корни конкретизируются (формируется множество решений). Вот для этой конкретизации и используются обозначения для арифметического корня, логарифма и т. д..

(9 Сен '12 16:45) Anatoliy

Анатолий, а попроще? Конкретный вопрос: перед иксом надо ставить плюс-минус или нет? (у Киселева - в других примерах - ставится. А в этом примере - нет)

(9 Сен '12 17:06) Карп

Все должно стоять там, где нужно. Нет.

(9 Сен '12 17:41) Anatoliy

Угу... В общем, в очередной раз убеждаюсь в правоте то ли Понтрягина, то ли Арнольда, сказавшего: "Хороших математиков у нас немало, а вот хороших преподавателей математики - по пальцам сосчитать".

(9 Сен '12 18:04) Карп

Правильно сказали.

(9 Сен '12 20:12) Anatoliy

Операция одновременного извлечения корня из обоих частей уравнения имеет смысл только в том случае, если и слева, и справа берется только одно (вполне определенное!) значение алгебраического корня (например, арифметический корень). Если мы будем так решать уравнение, то придется на этом шаге превратить его в совокупность, приравняв каждое значение левого корня каждому значению правого. Но в этом нет необходимости. Можно просто считать (по определению), что общее решение уравнения $%x^n=a$% - это $%x=$%{все значения алгебраического квадратного корня $%n$%-й степени из $%a$%}

(9 Сен '12 21:54) Андрей Юрьевич

Пошагово. Пусть $%x^2 = 1$%. Значит, x принадлежит к множеству алгебраических корней из 1 (это и есть определение алгебраического корня). Это множество состоит из двух элементов: 1 и -1. Это и есть все возможные решения уравнения.

(10 Сен '12 11:41) DocentI

Нет, так не пойдет. Пошагово - это пошагово: берем алгебраический корень слева и справа. Алгебраический корень справа будет равен плюс-минус единице. Как запишем алгебраический корень из икс в квадрате - как икс или как плюс-минус икс?

(10 Сен '12 17:16) Карп

Можно, конечно написать совокупность из 4-х равенств $%x=1, \; x=-1, \; -x=1, \;-x=-1 \;$%, которая эквивалентна совокупности из двух равенств $%x=1,x=-1$%, которую, в свою очередь можно записать короче $%x= \pm 1$%, но это все слишком длинно, поэтому записывают только последнее равенство.

(10 Сен '12 18:37) Андрей Юрьевич

У Кристобаля Хозевича Хунты ("Понедельник начинается в субботу") весело изречение: "А нужны ли мы нам". По-моему, вопросы @Карп уже перешли в занудство. Арифметический корень - это число, а алгебраический - множество, и обращаться с ними надо по-разному.

(10 Сен '12 19:20) DocentI
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
0

Предполагаю, что примеры в ответе Anatoliy можно сформулировать следующим образом:

$%x \in \mathbb{R} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}, \ \sqrt[4]{3}\})$%, при этом $%x = \sqrt[4]{3} \rightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}, \ \sqrt[4]{3}\}$%

$%x \in \mathbb{C} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}, \ \sqrt[4]{3}, \ - \sqrt[4]{3i}, \ \sqrt[4]{3i}\})$%

$%x \in \mathbb{R} \rightarrow (x^3 = -3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[3]{3}\})$%

Вышеуказанные примеры можно дополнить следующими примерами:

$%x \in \mathbb{Z} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \varnothing)$%

$%x \in \mathbb{R} \setminus \{- \sqrt[4]{3}\} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{\sqrt[4]{3}\})$%

$%x \in \mathbb{R} \setminus \{\sqrt[4]{3}\} \rightarrow (x^4 = 3 \leftrightarrow x \in \{- \sqrt[4]{3}\})$%

ссылка

отвечен 9 Сен '12 23:14

изменен 10 Сен '12 20:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,762
×7

задан
28 Авг '12 16:59

показан
7473 раза

обновлен
9 Окт '12 14:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru