Здравствуйте! Задание такое. Найдите все орбиты группы $%G$% невырожденных линейных операторов, действующих на $%n$%-мерном векторном пространстве $%V$%, если

a. $%G$% - группа всех невырожденных линейных операторов;

b. $%G$% - группа ортогональных операторов;

Только, пожалуйста, с объяснениями, а то я не очень понимаю, что такое орбиты. ( Надеюсь, по примеру пойму.

задан 11 Окт '15 4:48

изменен 9 Ноя '15 16:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

Понять, что такое орбиты, легче всего вот из какого примера. Рассмотрим группу поворотов плоскости относительно начала координат. Возьмём какую-нибудь точку $%X$%, и посмотрим, куда она может переходить при поворотах. Очевидно, что она может оказаться в любом месте окружности с центром $%O$% радиусом $%X$%. Это и есть её орбита -- как если бы точка $%X$% вращалась вокруг $%O$% по окружности, подобно небесному телу. Поэтому орбитами в данном случае будут все концентрические окружности, а у начала координат $%O$% орбита из одной этой точки и состоит.

а) Рассмотрим произвольный вектор $%v\in V$%. Нужно описать его орбиту, то есть множество векторов вида $%Av$%, где $%A$% -- невырожденная матрица (вектор можно считать столбцом из координат с фиксированном базисе). Здесь вектор $%v$% фиксирован, а $%A$% пробегает множество всех невырожденных матриц.

Очевидно, что если $%v=0$%, то $%Av=0$%, то есть у нулевого вектора орбита одноэлементна. Если $%v\ne0$%, то $%Av\ne0$% ввиду невырожденности $%A$%. (В противном случае можно было бы написать $%v=A^{-1}Av=A^{-1}0=0$%.) Вектор $%v$%, будучи ненулевым, является частью некоторого базиса пространства $%V$%. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор $%w\in V$%. Он тоже является частью некоторого базиса. Тогда для двух базисов существует и единственно линейное преобразование, переводящее векторы первого базиса в векторы второго. Обозначим его через $%A$%. Оно невырождено, так как базис переводит в базис (это эквивалентное свойство). При этом $%Av=w$%. Это означает, что $%v$% можно перевести невырожденным преобразованием в любой заданный ненулевой вектор. То есть орбитой $%v$% будет множество $%V\setminus\{0\}$% всех ненулевых векторов.

Всего орбит имеется две: $%\{0\}$% и $%V\setminus\{0\}$%.

b) Здесь рассуждение аналогично, но надо иметь в виду, что ортогональное преобразование сохраняет длину вектора. В то же время, для двух векторов одинаковой длины всегда существует ортогональное преобразование, переводящее один вектор в другой. Отсюда следует, что орбиты состоят из векторов одной и той же длины, то есть их столько же, сколько неотрицательных чисел. Для каждого $%r\ge0$% мы в качестве орбиты имеем сферу радиусом $%r$% в евклидовом пространстве $%V$%. Это и есть орбита любого вектора, имеющего длину $%r$%.

ссылка

отвечен 11 Окт '15 10:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,174

задан
11 Окт '15 4:48

показан
1826 раз

обновлен
9 Ноя '15 16:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru