Вопрос о понимание аксиомы-схемы выделения (Axiom scheme of Specialization) $$ \forall A \exists B \forall x (x\in B \Longleftrightarrow x\in A \wedge S(x)) $$

Читается это вроде бы так: Для любого множества А, существует множество В и найдутся такие х, что х в В тогда и только тогда х в А и S(x) удерживается для х. Немножко непонятно использование логической эквивалентности, надо ли это понимать что найдется такие х для которых справедливы только оба утверждения, т.е что эти икс находятся в В и что этих же икс в А выполняется S(x)? (почему нельзя использовать логическое и ?)

О чем говорит эта аксиома? Является ли В подмножеством А по условию(возможно это предпологается?, ведь без этого нет смысла в этом)?

Что означает "удерживается?", надо ли это понимать как "некое свойство верно для x из А" ?

Также вопрос - что понимается под "не свободно", например в примере: $$ \exists y \forall x (x=y \Leftrightarrow \gamma ) $$ написано что это надо понимать как, "где y это любая переменная которая не свободна в гамма". Если можно, в вкратце объяснить, что такое свободные переменный и связанные переменные с несколькими примерами. (Есть ли связь между (свободна\удерживается) и (связанные\свободные переменные) )?

Спасибо.

задан 13 Окт '15 14:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Смысл схемы аксиом выделения достаточно простой. Пусть имеется множество $%A$% и свойство $%S$%, которым могут обладать или не обладать элементы. Мы хотим выделить в $%A$% подмножество $%B$%, состоящее из всех элементов, обладающих свойством $%S$%. Например, если $%A$% -- множество всех простых чисел, а $%S$% -- свойство "быть делителем 100", то $%B=\{2;5\}$%.

Считается, что свойство $%S$% задаётся теоретико-множественной формулой. Пусть в запись этой формулы входит переменная $%x$%. Тогда $%S(x)$% означает, что элемент $%x$% обладает свойством $%S$%. Именно так и надо говорить. Ещё можно сказать "свойство $%S$% выполняется для элемента $%x$%". Слово "удерживается" здесь совершенно неуместно. Я думаю, что оно возникло в результате механического перевода с английского. Можно сказать "S(x) holds for x", что означает "S(x) выполняется для x". Это устойчивый оборот, а перевод глагола "hold" в значении "удерживать" в данном контексте неправилен.

Если прочитать формулировку аксиомы, то получится примерно следующее. Для любого множества $%A$%, существует множество $%B$% такое, что для всякого $%x$%, элемент $%x$% принадлежит $%B$% тогда и только тогда $%x$% принадлежит $%A$%, и $%S(x)$% верно (для $%x$%).

У Вас в тексте неправильно прочитан квантор перед $%x$%, что существенно искажает смысл. А вот логическую эквивалентность Вы трактовали правильно, в смысле "тогда и только тогда". Больше никаких трактовок здесь не нужно. То есть мы принимаем $%x$% в подмножество $%B$% тогда и только тогда, когда элемент $%x\in A$% обладает свойством $%S$%.

Понятие свободной и связанной переменной очень важно, и эти вещи надо один раз хорошо понять до конца как на формальном, так и на содержательном уровне. Начнём с второго. Пусть дано высказывание, которое зависит от каких-то переменных. Тогда они считаются свободными. Например, $%x+y=z$%. Здесь все три переменные свободны. Бывает так, что какая-то переменная используется в виде индекса суммирования, или переменной интегрирования, или чего-то ещё типа этого. Тогда она считается связанной. Пример: $%\int\limits_a^bf(x)\,dx$%. Для заданной функции $%f$%, это число, зависящее от $%a$% и $%b$%. Вместо них можно подставлять конкретные числа -- скажем, $%a=3$% и $%b=5$%. А переменная $%x$% здесь связанная, от неё ничего не зависит. Чисел вместо неё подставлять нельзя. Запись типа $%\int\limits_a^bf(7)\,d7$% будет бессмыслицей. В то же время, связанную переменную можно заменить на любую другую, и смысл выражения при этом не изменится: $%\int\limits_a^bf(t)\,dt$% означает ровно то же самое. Оно не зависит ни от $%x$%, ни от $%t$%.

Теперь на формальном уровне. Переменная может входит в одну и ту же формулу несколько раз. Поэтому говорить следует о свободных и связанных вхождениях переменной. Тогда признак простой: если вхождение переменной находится в пределах действия квантора (любого из двух) по этой переменной, то оно считается связанным. В противном случае оно свободно.

Пример: рассмотрим формулу $%P({\mathbf x},{\mathbf y})\&(\forall x)(Q(x,{\mathbf y},{\mathbf z})\lor(\exists t)P({\mathbf z},t))$%. Все свободные вхождения переменных выделены здесь жирным шрифтом. Переменная $%x$% здесь появляется и как связанная, и как свободная. Этого можно избежать, переименовав её там, где по ней используется квантор. Например: $%P({\mathbf x},{\mathbf y})\&(\forall a)(Q(a,{\mathbf y},{\mathbf z})\lor(\exists t)P({\mathbf z},t))$%. По смыслу, получится то же самое.

Никакой связи этих понятий с "удерживанием" нет.

ссылка

отвечен 13 Окт '15 14:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×702
×650
×199

задан
13 Окт '15 14:01

показан
399 раз

обновлен
13 Окт '15 14:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru