$%y'=(\frac{1+y'}{y-x})^2$%

задан 13 Окт '15 19:05

изменен 11 Ноя '15 23:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

Из условия следует, что $%y'\ge0$%, а отсюда можно сделать вывод, что $%y' > 0$%. Положим $%z=\sqrt{y'}$%. Тогда $%z^2=(\frac{z^2+1}{y-x})^2$%, то есть $%z=\pm\frac{z^2+1}{y-x}$%. Отсюда $%y-x=\pm(z+z^{-1})$%.

Дифференцируя по $%x$%, имеем $%z^2-1=y'-1=\pm(z'-z'z^{-2})=\pm z'\cdot\frac{z^2-1}{z^2}$%.

Рассмотрим случай, когда $%z^2=1$%. Из $%z > 0$% следует $%z=1$%. Тогда $%y-x=\pm2$%. Легко видеть, что обе функции $%y=x\pm2$% являются решениями уравнения из условия.

Пусть $%z^2\ne1$%. Тогда $%z'=\pm z^2$%. Это уравнение с разделяющимися переменными, и оно даёт $%z=\mp\frac1{x+C}$%. Тогда $%y=x\pm(z+z^{-1})=x-\frac1{x+C}-x-C=-\frac1{x+C}-C$%. Подстановка в уравнение из условия показывает, что это серия решений.

ссылка

отвечен 13 Окт '15 22:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×857
×47
×38

задан
13 Окт '15 19:05

показан
355 раз

обновлен
11 Ноя '15 23:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru