1
1

Я думаю, что каждая монотонная функция задается при помощи рациональных чисел. Интуиция подсказывает, что это континуум, конечно. Поможет ли в решении теорема Кантора-Бернштейна?

задан 13 Окт '15 23:13

10|600 символов нужно символов осталось
5

Множество всех функций из $%\mathbb R$% в $%\mathbb R$% имеет мощность больше континуума, поэтому для отдельных классов функций представляет интерес доказательство того, что их континуум. Скажем, для непрерывных функций это так, потому что они однозначно определяются значениями в рациональных точках. А множество отображений счётного множества в $%\mathbb R$% континуально: $%\mathbb R^{\mathbb N}\sim(2^{\mathbb N})^{\mathbb N}\sim2^{\mathbb N\times\mathbb N}\sim2^{\mathbb N}\sim\mathbb R$%.

Ясно, что функций не меньше континуума, и тогда с учётом теоремы Кантора - Бернштейна достаточно доказывать, что их не больше континуума.

С монотонными функциями дело обстоит чуть сложнее, потому что они значениями в рациональных точках в общем случае не определяются. Рассмотрим функцию $%f(x)=0$% при $%x < \sqrt2$%, $%f(x)=1$% при $%x > \sqrt2$%, и тогда для $%f(\sqrt2)$% годится любое значение из отрезка $%[0;1]$%.

Тем не менее, значения в рациональных точках однозначно определяют значения в точках непрерывности. Если $%x_0$% -- точка разрыва, то рассмотрим два числа: $%a=\sup\limits_{x < x_0}f(x)$% и $%b=\inf\limits_{x > x_0}f(x)$%. При этом $%a < b$%, и возникает интервал $%(a,b)$%, из которого функция не принимает значений. Для каждой точки разрыва, такой интервал свой в силу монотонности, и разные интервалы не пересекаются. Их множество не более чем счётно ввиду наличия в каждом интервале своей рациональной точки. Тем самым, множество точек разрыва не более чем счётно.

Заметим, что множество (не более чем) счётных подмножеств континуума имеет мощность континуума. Это доказывается стандартно: берём интервал $%(0;1)$%, и элементы счётного подмножества записываем в виде строк как двоичные дроби. Получается матрица, элементы которой нумеруем некоторым способом. Это даёт новое число, которое хранит информацию о всех элементах подмножества: зная это число, можно восстановить матрицу.

Теперь заметим, что монотонная функция однозначно определяется такими данными: 1) значения в рациональных точках; 2) множество точек разрыва; 3) значения в точках разрыва. Получается, что функций не больше, чем элементов $%\mathbb R^3$%, то есть не больше континуума. Это завершает доказательство.

ссылка

отвечен 14 Окт '15 1:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×564
×230
×55

задан
13 Окт '15 23:13

показан
3073 раза

обновлен
14 Окт '15 1:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru