$$sin^2x+psinx=p^2-1$$

задан 8 Янв '12 13:53

изменен 8 Янв '12 14:19

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

@кто Для отрисовки формул добавляйте $$ в начале и конце формулы.

(8 Янв '12 14:20) ХэшКод
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для простоты введем подстановку $%sinx = t$%, тогда $%t^2+pt=p^2-1$%. Для приведенного квадратного уравнения $%x^2+px+q=0$%, вещественные корни существуют, если $%p^2-4q>0%$%. Отсюда первое условие существования корней $$p^2+4(p^2-1)\geq0$$ С другой стороны, чтобы уравнение $%sinx=t$%, имело решение, $%t$% должно быть меньше либо равно единицы по модулю, отсюда второе условие существования корней $$\left|-\frac{p}{2}\mp\sqrt{\frac{p^2}{4}+(p^2-1)}\right|\leq1$$ Решая полученную систему неравенств относительно p, получаем искомые значения параметра.

ссылка

отвечен 8 Янв '12 14:32

изменен 8 Янв '12 16:53

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Иногда при решении полезно получить ответ или часть ответа простыми эвристическим рассуждениями. Введем функцию $$f(y,p)=y^2+py-(p^2-1)$$ с условием $$y=sinx; |y|\leq 1$$ Получаем уравнение $$f(y,p)=0 \Rightarrow y^2+py-(p^2-1)=0$$ , которое неявно задает функцию $$y=g(p)$$ Эта функция нечетная, непрерывная Ее область определения находим из условия существования корней,т.е $$D=5p^2-4 \geq 0 \Rightarrow |p|\geq \frac{\sqrt{5}}{2} $$ Далее находим крайние точки $$y=1 \Rightarrow p=2; y=-1 \Rightarrow p=-2 $$ Итак, $$ y=g(p) $$ отображает часть отрезка $$[-2;2] $$ на отрезок $$[-1;1] $$ за вычетом той части значений , при которых корней y нет. Вероятный ответ $$[-2;-\frac{\sqrt{5}}{2}] \bigcup [\frac{\sqrt{5}}{2};2]$$

ссылка

отвечен 8 Янв '12 18:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,799

задан
8 Янв '12 13:53

показан
984 раза

обновлен
8 Янв '12 18:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru