Мой преподаватель дал один довольно-таки неброский предельчик: $$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x \sin x}-\frac{1}{x^2} \right) $$ Сказал, что его можно решить за "одну минуту". То есть без использования разложений и двойного Лопиталя. Я, если честно, не вижу ничего в этом пределе изящного. Возможно, меня обвели вокруг пальца :)

задан 19 Окт '15 20:22

@PersonaNonGrata: я воспользовался разложением, потому что ответ получается быстро, а также для демонстрации того, что знать этот предел равносильно знанию разложения синуса до кубов. Вместо разложений тут можно использовать неравенства, но это почти то же самое.

(19 Окт '15 20:31) falcao

@falcao это-то все ясно, я бы тоже с удовольствием все разложил -- напрашивается. Мне кажется это совсем не "на минутку" искать другое решение.

(19 Окт '15 20:35) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata, стало интересно как Ваш преподаватель без разложения упростил разность $%x-\sin x$% ... или он "пошёл другим путём"(с) в вычислении этого предела?... Я так думаю, что либо использовать разложение синуса (о чём уже сказано), либо один раз отлопиталить при вычислении предела придётся...

(20 Окт '15 19:14) all_exist

@all_exist адекватный вопрос. Я тоже сидел в недоумении, как это можно решить его без хотя бы разложения. В таком виде он малоинтересен :)

(20 Окт '15 19:24) PersonaNonGrata
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ну, можно и за минуту, наверное. Если привести к общему знаменателю, будет $%\frac{x-\sin x}{x^2\sin x}$%. Далее надо воспользоваться тем, что $%\sin x=x-\frac1{3!}x^3+o(x^3)$%. Тогда в числителе получится $%\frac16x^3+o(x^3)$%, а знаменатель эквивалентен $%x^3$%. Предел равен $%\frac16$%.

ссылка

отвечен 19 Окт '15 20:26

изменен 19 Окт '15 20:27

@falcao Ну вот, Вы все-таки разложили. Задание таково: не использовать никаких "грубых" методов -- брать воображением :)

ps. А почему о-малое $%x^3$%?

(19 Окт '15 20:28) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: я не знаю, что имелось в виду. Разложение синуса до кубов -- вещь достаточно известная. Это всё получается в виде неравенств через интегрирование. То, что там $%o(x^3)$%, это понятно. Верно даже, что это $%O(x^5)$%, то есть $%o(x^4)$%, но с такой высокой точностью это не нужно.

(19 Окт '15 20:46) falcao

@falcao все никак не могу разобраться с о-символикой... вообще не поддается. Одни применяют о-малое, другие О-большое. У Вас есть хорошая и объясняющая литература по этой символике?

(19 Окт '15 20:51) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: там вся теория состоит из двух определений и нескольких легко выводимых свойств. Это есть в задачнике Демидовича -- такого объёма сведений более чем достаточно. Используются обе вещи. Если не вдаваться в тонкости, то f(x)=O(g(x)) означает, что частное f(x)/g(x) ограничено, а f(x)=o(g(x)) значит, что f(x)/g(x) бесконечно мало (при x->a). Крайне удобный аппарат, надо заметить.

(19 Окт '15 20:59) falcao

@falcao Ограничено? Боюсь показаться глупым, если спрошу: как понять ограничено?

(19 Окт '15 21:30) PersonaNonGrata
1

@PersonaNonGrata: надо знать определение ограниченной функции. Существует такая константа C, что функция по модулю ограничена величиной C.

(19 Окт '15 21:40) falcao

@falcao пока не вижу никакой связи определений о-символики с ее применением. :( Надеюсь, Демидович разрешит мои проблемы

(19 Окт '15 21:56) PersonaNonGrata
1

@PersonaNonGrata: да, должен разрешить. Только не пытайтесь понять всё сразу и целиком -- это понимание постепенно придёт само, если начать внимательно читать все определения и свойства.

Интуитивный смысл тут простой. f(x)=o(g(x)) означает, что f(x) бесконечно мала по отношению к g(x). То есть f(x)=g(x)h(x), где h(x) стремится к нулю. А для O-большого h(x) должна быть по модулю ограничена константой.

(19 Окт '15 22:45) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,595
×625
×112

задан
19 Окт '15 20:22

показан
322 раза

обновлен
20 Окт '15 19:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru