Стандартная процедура дифференцирования неявной функции одной переменной достаточно трудоемка и нудна; местами даже сложна ввиду выделения производной и перенесения отдельно от всего выражения. В связи с этим у меня возник вопрос: что если представить такую функцию в виде функции двух переменных? Я где-то читал о подобном методе: метод частных производных. Этот способ показался мне легким в использовании и куда менее времязатратным. Однако я хочу спросить о таком методе именно с точки зрения математической грамотности. Разве можно вот так вот просто взять и представить функцию одной переменной в виде функции нескольких переменных? Мне кажется, что это совершенно неправильно (если ссылаться на определение отображения). Прошу помочь разобраться.

задан 20 Окт '15 18:47

@falcao Скажите, я правильно понимаю, что выходит функцию одной переменной можно представить в виде функции нескольких переменных просто задав ее в неявном виде? И еще небольшой вопрос по Вашему последнему комментарию: но ведь отображения поменялись. А функция задается именно отображением, согласен, не выражением. Или я Вас не так понял?

(21 Окт '15 1:44) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: нет, это неправильно. Вам уже было сказано, что функция -- это одно, а способ её задания -- совсем другое. Верно то, что функцию y=f(x) одной переменной можно задать при помощи совершенно другой функции двух переменных. Это уже обсуждалось: условие F(x,y)=f(x)-y=0 задаёт функцию f, но F при этом не равна f.

Последнего Вашего вопроса я не понял. Повторю то, что говорил раньше. f(x,y,z)=F(x)+0y+0z -- это одна функция (трёх переменных); F(x) -- другая (хотя значения у неё те же).

(21 Окт '15 2:07) falcao

@falcao вот, теперь я понял о чем Вы говорите -- это разные функции. А разные они в виду разных отображений. Функция в явном виде A -> B, а в неявном AxB -> C. Наверное, Вы об этом... А то я уже устал Вас не понимать :)) И еще вопрос небольшой, пожалуйста: ответом на вопрос "В каком случае мы можем представить функцию одной переменной в виде функции нескольких переменных?" будет ответ -- ни в каком? Я просто предполагал, что задав ее неявно, мы тем самым от одной переменной можем перейти к двум...

(21 Окт '15 17:01) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: мне кажется, в этих вопросах нет никаких "глубин", и весь смысл только в уяснении формальных аспектов. С точки зрения отображений (или процедур), функция одного аргумента никогда не равна никакой функции двух аргументов. Это должно быть так же ясно, как то, что один не равен двум. Если же говорить о смысле, то ясно, что вместо f(x) всегда можно рассмотреть g(x,y)=f(x), и новая функция g от двух переменных, значения которой не зависят от y, будет в классическом смысле (но не в формальном!) "равна" f(x). Но это никакого отношения не имеет к вопросу о неявных функциях.

(21 Окт '15 17:15) falcao

@falcao значения не зависят от y... Как же это так, ведь значение функции, то бишь g, зависимая переменная по определению. Вот это, пожалуй, мне и не понятно :( То есть в формальном смысле так делать неграмотно? И как тогда формально задать неявную функцию, раз представление g(x,y) неформально?

(21 Окт '15 17:23) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: откажитесь от "псевдоклассических" трактовок, и замените их на современные. Очевидно, что в каких-то задачах та или иная величина может не зависеть от определённых параметров. Под зависимой переменной на деле понимают такую, которая зависит ТОЛЬКО от значений независимых переменных. Но ведь функция может быть константой! То есть она в истинном смысле может и не зависеть от x.

Задание g(x,y) более чем формально. И я уже говорил, что к неявным функциям это отношения не имеет. Там бралось другое, а именно, F(x,y)=f(x)-y=0. Явную функцию можно задать неявно, если надо.

(21 Окт '15 17:29) falcao

@PersonaNonGrata: "псевдоклассическим" я называю подходы в духе "псевдоопределений" функции на языке "зависимость одной величины от другой". Это не тот уровень. Современное определение -- это понятие отображения. Далее, я не против Ваших вопросов, но против повторения в сотый раз одного и того же. Настаиваю на том, что g(x,y) -- функция ДВУХ переменных. Как она устроена по содержанию -- вопрос вторичный. Неявно заданная функция может быть от какого угодно числа переменных. В примерах типа $%xy+\cos(x-y^2)=0$% задаётся функция y=y(x) одной переменной.

(21 Окт '15 18:58) falcao

@falcao ааа, ну, раз без зависимости рассматривать, то вроде отображения остаются на месте. Для закрепления усвоенного, мне хотелось бы рассмотреть конкретный пример ( я его оформлю в комментарии ниже, здесь уже места не хватит).

(21 Окт '15 19:22) PersonaNonGrata
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Разве можно вот так вот просто взять и представить функцию одной переменной в виде функции нескольких переменных? - Вы немного подменяете (путаете) функцию одной переменной и способ её задания ... Значение неявной функции определяется как единственное решение уравнения, которое получено подстановкой соответствующего значения икса... а главная часть уравнения, задающего неявную функцию - это функция двух переменных...

Например, неявная функция задаётся уравнением $%x^3 + y^3=7$% ... Если в него подставить $%x = 2$%, то получим уравнение относительно $%y(2)$%, которое имеет вид $%2^3+[y(2)]^3=7$%, откуда $%y(2)=-1$%...
С другой стороны главная часть уравнения - это $%F=x^3 + y^3$%... она является функцией двух переменных, а график неявной функции есть линия уровня этой функции...

ссылка

отвечен 20 Окт '15 19:06

изменен 20 Окт '15 19:17

@PersonaNonGrata, ... а вполне себе стандартный метод? - разумеется ...

(20 Окт '15 19:24) all_exist

@PersonaNonGrata: я добавлю то, что любую явно заданную функцию y=f(x) можно легко представить себе как функцию, заданную "неявно" уравнением F(x,y)=0, где F(x,y)=f(x)-y. Здесь никто не подменяет функцию одной переменной на функцию двух переменных. Одна обозначается f, другая F.

То, что знание F даёт нам здесь полную информацию про f, не означает, что эти объекты тождественны.

(20 Окт '15 20:24) falcao

@falcao Ваше утверждение как-то связано с теоремой о неявной функции?

(20 Окт '15 20:29) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: никак. Оно относится только к Вашему замечанию по поводу того, является ли грамотным с точки зрения математики некий приём (рассмотрение F наряду с f). Я сказал, что является.

(20 Окт '15 20:46) falcao

@falcao понял. Но кое-что все равно для меня остается не ясным. В записи F(x,y), я так понимаю, раз это функция двух переменных, x и y -- аргументы?

(20 Окт '15 20:52) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: да, это аргументы. Можно было бы написать что-то типа z=F(x,y), но если нас интересует только условие равенства нулю, то переменная z вроде как не нужна нигде.

(20 Окт '15 21:24) falcao

@falcao вот именно это мне и непонятно... Ведь изначально, при данной неявной функции у нас отображение X в Y, где y in Y -- значение функции, а x in X -- аргумент. Но придав этой функции вид от двух переменных отображение другое стало, то есть, следовательно, другая и функция. Разве нет?

(20 Окт '15 22:33) PersonaNonGrata

@falcao возник небольшой спор. Скажите, пожалуйста, а функция f(x,y,z) = F(x) + 0y + 0z все-таки нескольких переменных?

(21 Окт '15 1:17) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: да. Просто она от y, z не зависит, но она сама задана как функция трёх переменных. Удобнее всего смотреть с точки зрения процедур в программировании. Там набор аргументов явно прописывается пользователем. Поэтому процедуры f1(x), f2(x,y) и т.д. всегда разные, даже если они всегда возвращают 0.

В современном математическом понимании функция есть отображение множеств, поэтому при смене области определения меняется и функция. Синус на прямой и синус на отрезке -- разные отображения. Здесь нужно отказаться от устаревшей концепции, что функция "задаётся выражением". Это не так.

(21 Окт '15 1:22) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
2

Для комментариев места уже нет, но я обнаружил, что не отвечал ещё в основной части, так что у меня есть возможность подробно всё осветить.

Начну с того, что у Вас неправильное представление о том, что такое неявная функция. Поэтому, пересказывая какие-то мысли своим языком, Вы делаете очень много ошибок -- как формальных, так и содержательных. Я сейчас их проанализирую, но пока скажу, что имело бы смысл почитать на эту тему то, что говорится в учебниках. Хотя бы в объёме одной-двух страниц. Всё-таки, согласитесь, это более правильный подход: сначала узнать, что под этим термином понимают авторы книг, а потом уже самому осмыслять, а не предлагать свои определения. Учебник можно взять любой, но я ограничусь ссылкой на главу 13 "Неявные функции" в томе 1 курса матанализа, авторами которого являются Ильин, Садовничий и Сендов. Издательство МГУ, 1985 год. Он общедоступен.

Теперь об ошибках в последнем из комментариев. Цитирую: "неявная функция -- это функция F(x,y)=0". Здесь всё неправильно. Во-первых, неявная функция есть нечто совсем другое (и я об этом писал). Во-вторых, F(x,y)=0 никоим образом не есть функция. Это уравнение, то есть совсем другой объект.

Здесь надо сделать одну оговорку. Мы часто говорим: рассмотрим функцию $%y=x^2$%. Это считается вполне грамотным. И перед нами тоже имеется уравнение. Но надо понимать, что это не более чем общепринятый математический жаргон. На деле это означает: рассмотрим функцию, которая каждому числу $%x$% ставит в соответствие число $%y$%, равное $%x^2$%.

Далее, в обсуждаемом контексте все функции являются числовыми. Поэтому не надо писать $%F\colon X\times Y\to Z$% с абстрактными множествами. На самом деле, если $%F$% всюду определена, то $%F\colon\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$%. Проще вообще не говорить здесь слишком академическим языком, потому что все знают, что такое функция двух переменных (обычная числовая). Поэтому лишних уточнений можно не делать.

Наконец, что такое "функция .. заданная на отображении"? Так никто и никогда не говорит, потому что это абсурд. Функция и отображение -- это синонимы, и получается, что функция задана на функции. На самом деле, функция задаётся на множестве, а именно, на своей области определения.

А теперь по существу. Пусть дана функция двух переменных $%F(x,y)$%. Для простоты считаем, что она всюду определена. Тогда мы имеем право рассмотреть уравнение $%F(x,y)=0$%. Например, это может быть уравнение окружности $%x^2+y^2-1=0$%. Сразу отмечу, что рассмотрение уравнения $%F(x,y)=c$% равносильно рассмотрению уравнения $%F(x,y)-c=0$%, поэтому можно ограничиться случаем, когда правая часть равна нулю. Общности это не ограничивает. Для полноты картины можно добавить, что уравнение $%F(x,y)=c$% задаёт некоторое множество точек координатной плоскости. Обычно это какая-то кривая, хотя в общем случае может получиться почти что угодно: и пустое множество (для уравнения $%x^2+y^2+1=0$%), и вся плоскость (пример можете придумать самостоятельно).

Если мы зададим константу $%c$%, то множество решений уравнения $%F(x,y)=c$% называется линией уровня функции $%F$%.

Теперь вернёмся к примеру $%x^2+y^2=1$%. Может возникнуть желание выразить $%y$% через $%x$% из этого уравнения. Здесь это делается просто, но неоднозначно. Можно написать, что $%y=\pm\sqrt{1-x^2}$%. При этом надо оговорить, что $%x\in[-1;1]$%. Мы получили выражение $%y$% через $%x$%, но это пока не функция, поскольку функция всегда однозначна. Тогда мы можем рассмотреть две функции: $%y_1(x)=\sqrt{1-x^2}$% и $%y_2(x)=-\sqrt{1-x^2}$%. У каждой из них область определения равна $%[-1;1]$%. Обе эти функции заданы при помощи явной формулы, где $%y$% непосредственно выражается через $%x$%. Но бывает так, что явного выражения извлечь не удаётся -- даже тогда, когда оно существует.

Рассмотрим такой пример: $%y^5+y-x=0$%. Это уравнение 5-й степени, где $%x$% выступает в качестве числового параметра. Его корни в аналитическом виде не выражаются, то есть искать такие выражения бесполезно. Тем не менее, можно заметить, что многочлен $%y^5+y$% представляет собой возрастающую функцию (производная всюду положительна), и она принимает все значения от $%-\infty$% до $%+\infty$%. В том числе значение $%x$%, причём ровно в одной точке. Следовательно, для любого $%x$% существует и единственно такое $%y$%, зависящее от $%x$%, для которого $%y^5+y-x=0$%. Можно традиционно написать $%y=y(x)$%, то есть нами описана некая функция одного аргумента. Она обладает тем свойством, что для всех $%x$% имеет место тождественное равенство $%y(x)^5+y(x)-x=0$%.

Чему эта функция равна точно, мы не знаем. Иногда это можно сказать. Например, мы точно знаем, что $%y(34)=2$%. Это следует из того, что $%2^5+2-34=0$%. Тем не менее, мы можем эту функцию как-то изучать, строить её примерный график, и прочее.

Теперь немного обобщим сказанное выше. Предположим, что у нас имеется уравнение $%F(x,y)=0$%. Допустим, что существует функция $%y=y(x)$% одного аргумента, заданная на некотором интервале $%x\in(a,b)$%, для которой на этом интервале выполняется тождественное равенство $%F(x,y(x))=0$%. Тогда мы говорим, что $%y=y(x)$% есть "неявная" функция, задаваемая уравнением $%F(x,y)=0$%.

Слово "неявная" я взял в кавычки, потому что это устоявшийся термин, которые не следует понимать буквально. В частности, не надо подразделять функции на две категории, в одной из которых окажутся "явные", а в другой "неявные". Такого явления нет, поскольку и те, и другие суть самые обычные функции. Просто надо понимать, что в одним случаях типа $%x^2-y=0$% очень легко выразить $%y$% через $%x$% в явной форме, в случаях типа $%x^2+y^2-1=0$% это тоже можно сделать, но неоднозначно, и чуть сложнее. А для уравнений типа $%y^5+y-x=0$% это можно сделать только условно, "неявно". Разница здесь только в способе описания (или задания) объекта.

В учебниках Вы сможете также найти теорему о неявной функции, которая даёт достаточные условия того, чтобы из уравнения можно было выразить $%y$% через $%x$% хотя бы одним способом, и чтобы при этом получалась доступная для изучения функция. Пусть и не заданная в явном виде, когда "игрек" равен аналитическому выражению, зависящему от $%x$%. При этом надо помнить, что неявные функции -- это не новый вид функций, а всего лишь один из способов задавать функции.

ссылка

отвечен 22 Окт '15 2:29

@falcao преогромное Вас спасибо за такой развернутый ответ! Позвольте мне ответить на некоторые Ваши справедливые замечания. 1) О неявных функциях я читал в математической энциклопедии Виноградова. Оказывается, перефраз нескольких слов тотчас же нарушает математическую строгость, а вместе с ней и верность. Зря я изначально в поэты записывался :)) Отдельная благодарность за литературу! 2) Теперь я это прочно усвоил: задать функцию неявно, следовательно рассмотреть уравнение. Однако сама неявная функция имеет свой собственный график и область определения, не всегда...

(22 Окт '15 20:53) PersonaNonGrata

...совпадающую с явной функцией. Последнее, наверное, лишнее, но мне нужно было в этом убедиться. Последний вопрос по этой теме: неявная функция -- способ задания явной функции в виде уравнения, но не как функции двух переменных? 3) Про отображение. Я неверно выразился, хотел написать "при отображении". Поскольку полагаю, что функция -- это закон, по которому каждому элементу $%x \in X$% поставлен в соответствие определенный элемент $%y \in Y$%. В свою очередь под отображением я понимаю кортеж (X,Y,f), где X и Y область определения и область значений функций D(f) и R(f) соответственно.

(22 Окт '15 20:53) PersonaNonGrata
1

@PersonaNonGrata: хорошо, что от моего объяснения была польза. Значит, я не зря старался.

"Неявная функция" -- это просто такая "этикетка", название учебной темы. По сути -- конечно, это один способов задания обычной функции.

Насчёт кортежей в принципе всё верно, но когда Вы говорите про "закон" (что тоже верно), то упоминаете X и Y. Получается, что они уже считаются заданными. Поэтому мы фактически и имеем этот же кортеж.

(22 Окт '15 21:25) falcao

@falcao благодарю еще раз за Ваше объяснение!

(22 Окт '15 21:43) PersonaNonGrata
10|600 символов нужно символов осталось
1

Имеем отображение $$f: \mathbb{R} \setminus \left\{0 \right\} \to \mathbb{R} $$ и заданную на нем функцию одной переменной $%y = f(x) = \frac{1}{x}$%. Тогда функция (в современном смысле?) $%F(x,y) = \frac{1}{x} - y =0,$% где $%y$% -- некая независимая константа, при заданном отображении является представлением (?) $%f(x)$% в виде функции двух переменных. Однако сама $%F(x,y)$% задана на отображении $$F: \mathbb{R} \setminus \left\{0 \right\} \times \mathbb{R} \to Z,$$ доказывая тем самым, что $%f(x) \ne F(x,y)$%. Надеюсь, хоть сейчас я сократил количество своих ошибок?

ссылка

отвечен 21 Окт '15 18:47

изменен 21 Окт '15 20:01

@PersonaNonGrata: у Вас ошибка в самом начале. Функция $%y=\frac1x$% не определена в нуле. Поэтому её областью определения является $%\mathbb R\setminus\{0\}$%, а не вся числовая прямая. Это и есть отображение, то есть функция в современном смысле слова. Это правило, которое каждому элементу области определения ставит в соответствии какой-то элемент области значений.

То, что в современном смысле это дело должно иметь вид F(x,y)=x^2-y=0 -- явное заблуждение. Это просто другой способ более сложного задания функции, где надо долго и много говорить.

(21 Окт '15 19:27) falcao

Продолжу. Функция F(x,y) является вспомогательной. Как отображение, она действует из $%\mathbb R\times\mathbb R$% в $%\mathbb R$%. Здесь как раз 0 по игреку исключать в принципе не надо, так как F(x,y) определена всюду. Тут же нет деления.

"Доказательство" того, что f(x) не равно F(x,y) выглядит комично, потому что слева функция одной переменной, справа -- двух переменных. Один не равен двум, как уже говорилось (подобного рода "тупые" и самоочевидные факты почему-то осознаются всего труднее). Так что тут доказывать и обосновывать просто нечего.

(21 Окт '15 19:31) falcao

@falcao благодарю за исправление ошибки: поторопился. 1) Мне как раз важно знать, чем является F по отношению к f. Термин представление не очень грамотен? Лучше называть это вспомогательной функцией? 2) Про доказательство. Мне доселе не было известно, что понятие функции через зависимые и независимые переменные -- устарело (я просто думал, что это эквивалент строгого определения в школьной формулировке), поэтому долго не мог понять, о чем Вы говорите. Посему я скорее это себе сам доказываю, что действительно $%F \ne f$% и не смотря на то, что $%y$% здесь не является аргументом.

(21 Окт '15 19:41) PersonaNonGrata

@PersonaNonGrata: я, кажется, понял, в чём Ваша проблема, то есть что Вы пытаетесь понять. Давайте пока оставим с стороне тонкости определений и всё прочее. Рассмотрим функцию $%F(x,y)=x^2-y$%. Это функция двух переменных, значения которой легко вычисляются. Скажем, F(3,1)=8, F(0,4)=-4, и так далее. Вместо F могло быть что-то другое.

Теперь рассмотрим уравнение вида F(x,y)=0 (имеем право). Допустим, мы из него захотели однозначно выразить y через х. Это возможно далеко не всегда, но в данном случае очень легко: y=x^2. Обычная школьная функция (продолжение следует).

(21 Окт '15 19:57) falcao

Как теперь сказать о связи F и f, если иметь в виду f(x)=x^2? Сделаем это в более общем виде. Ясно, что выполняется тождество F(x,f(x))=0 при всех x из некоторого промежутка. При этом нет сомнения в том, что сами F и f совсем разные во всех смыслах -- и в формальном, и в содержательном. Связаны они только и исключительно указанным тождеством -- больше ничем.

Лишних терминов вводить не нужно. F(x,y) -- просто функция двух переменных. Про неё можно сказать только то, что уравнение F(x,y)=0 задаёт (неявно) функцию y=y(x), и последняя удовлетворяет тождеству F(x,y(x))=0. Вот и всё.

(21 Окт '15 20:02) falcao

@falcao теперь более или менее понятно. Остается еще раз мне вчитаться во всю переписку и сделать верный вывод. Но пока я могу точно сказать, что неявная функция -- это функция $%F(x,y)=0$% (кстати, а может быть не только нулю?), заданная на отображении $%f: X \to Y $%, где в свою очередь $%F: X \times Y \to Z.$%

(21 Окт '15 20:12) PersonaNonGrata
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,600
×102

задан
20 Окт '15 18:47

показан
993 раза

обновлен
22 Окт '15 21:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru