ряды - Пример функции

Рассмотрим функцию $%f(x)=\exp(-\frac1{x^2})$% при $%x\ne0$% и доопределим её в нуле формулой $%f(0)=0$%. Нетрудно проверить, что это гладкая функция, то есть она принадлежит $%C^{\infty}(\mathbb R)$%.

Действительно, при $%x\ne0$% её $%n$%-я производная имеет вид $%f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{Q_n(x)}\exp(-\frac1{x^2})$% для некоторых многочленов в числителе и знаменателе. Случай $%n=0$%, когда речь идёт о самой функции $%f(x)$%, сюда включается. Из того, что экспонента растёт быстрее любой степенной функции, следует, что пределы функций $%f^{(n)}(x)$% при $%x\to0$% равны нулю. Это доказывает гладкость.

(i) Рассматривая ряд Маклорена функции $%f(x)$%, видим, что он нулевой. То есть он всюду сходится, но только при $%x=0$% сходится к $%f(x)$%. Во всех остальных точках значения функции положительны.

(ii) Разрежем график функции $%f(x)$% на две симметричных части, и сдвинем правую половинку на единицу вправо, а левую на единицу влево. Между $%-1$% и $%1$% значения положим равными нулю. Получится функция $%g(x)=0$% при $%|x|\le1$% и $%g(x)=\exp\left(-\frac1{(|x|-1)^2}\right)$% при $%|x| > 1$%. Она также гладкая, поскольку в точках "склеек" все производные $%n$%-го порядка равны нулю с обеих сторон.

Ряд Маклорена снова нулевой, и он сходится к $%g(x)$% на $%[-1;1]$%.