алгебра - Теорема об эквивалентности иррациональностей

Все-таки, я решил не редактировать вопрос, а написать ответ. Итак, как я уже сказал, формулировка все-равно остается не четкой. Привожу возможные варианты четких формулировок.

Формулировка 1. Для любых положительных действительных чисел $%A$% и $%x$% найдутся такие натуральные $%n$% и $%k$% и такие наборы действительных чисел $%\left \{ a_i \right \}$%, $%\left \{ b_j \right \}$%, $%i=1,2...n$%, $% \; j=1,2...k$%, что выполняется равенство $$ A=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ Это утверждение тривиально. Достаточно взять $%n=k=1$%, $%\; a_1=b_1=A$%.

Формулировка 2. Для любого положительного действительного $%A$%, любых натуральных $%n$% и $%k$% и любых наборов действительных неотрицательных чисел $%\left \{ a_i \right \}$%, $%\left \{ b_j \right \}$%, $%i=1,2...n$%, $% \; j=1,2...k$%, найдется такое действительное $%x$%, что будет выполнятся равенство $$ A=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ Это утверждение заведомо неверно. Достаточно взять $%a_1=b_1=2A$%, $%\; a_i=0,b_j=0$%, при $%i>1,j>1$%.

Формулировка 3. Для любых положительных действительных чисел $%A$% и $%x$%, любых натуральных $%n$% и $%k$% найдутся такие наборы действительных чисел $%\left \{ a_i \right \}$%, $%\left \{ b_j \right \}$%, $%i=1,2...n$%, $% \; j=1,2...k$%, что выполняется равенство $$ A=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ Это утверждение тоже тривиально (см. резюме к Формулировке 1).

Как видите, вариантов формулировок много и все это - разные утверждения. Что же именно Вы имеете в виду?

Ответ принимаю только в виде такой же формулировки.

Дополнение 1 (по поводу перенесенной из комментария части вопроса). Ничего не сказано про $%n$% и $%k$% - они из разряда "для любых" или из разряда "найдутся"? Исправил, т.к. сначала не заметил добавленных условий $%a_i \lt A$%, $%b_j \lt A$% .

Дополнение 2 (ответ на комментарий про "тонкости" и на откорректированный вопрос). Неужели Вы не видите, как эти самые "тонкости" превращают, словно по волшебству, Ваше утверждение то в неверное, то в тривиальное. И прошу заметить, что Вы формулируете чисто математическую задачу. Если бы эта задача вытекала из какой-то практической, можно было бы апеллировать к опыту и к здравому смыслу. А так - есть только чистая логика. Меня это все как раз и заинтересовало с точки зрения "дисциплины мышления", о которой Вы говорили.

Что касается Вашего откорректированного утверждения, то оно теперь стало неверным. $%n$% и $%k$% - любые? Любые. Значит мы их взять какими угодно. Возьмем $%n=k=1$%. $%a_1$% и $%b_1$% у нас тоже любые. Возьмем их $%a_1=b_1=A/2$%. Формула сведется к равенству $%A=A/2$%, которое выполняется только для $%A=0$%, а отнюдь не для любого $%A$%.

Собственно, решение (с корректировкой). Наконец-то задача сформулирована, можно ее решить. Рассмотрим 2 функции $$ f(x)=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}, \;\; g(x)=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ $$x>0, \;\; n \ge 2, \;\; k \ge 2, \;\; a_i>0, \;\; b_j>0$$ Будем считать, что $%a_i$% и $%b_j$% перенумерованы так, что $%a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n$%, $%b_1 \ge b_2 \ge ... \ge a_k$%.

1) Докажем, что области значений этих функций включают диапазон $%(a_1, +\infty)$% или $%(b_1, +\infty)$%, соответственно.
Функции непрерывны на всей своей области определения, кроме того, $%f(x) \to +\infty$%, при $%x \to 0$% и $%f(x) \to a_1$%, при $%x \to +\infty$%, а $%g(x) \to +\infty$%, при $%x \to +\infty$% и $%g(x) \to b_1$%, при $%x \to 0$%. В силу непрерывности, в множества значений функций будут полностью входить указанные диапазоны.

2) Докажем, что для любого $%A>a_1$% существует такое $%x_1>0$%, что $%A=f(x_1)$%.
Это утверждение следует из того, что $%x_1$% принадлежит области определения функции $%f(x)$%, а $%A$% принадлежит множеству ее значений.

3) Докажем, что для любого $%A>b_1$% существует такое $%x_2>0$%, что $%A=g(x_2)$%.
Аналогично п.2.

4) Докажем, что, вообще говоря, $%x_1 \ne x_2 $%. Достаточно это сделать для какого-нибудь частного случая. Возьмем, например, $%a_i=b_j=a$%, $%n \gt k$%. Условие $%f(x)=g(x)=A$% превратится в $%a \cdot n^x = a \cdot k^{1/x} = A$%. Это система двух уравнений для одного неизвестного $%x$%, она, вообще говоря, несовместна, ч.т.д. Это если формально. А если неформально, то условие $%x_1 \ne x_2 $% следует из того, что функции $%f(x)$% и $%g(x)$% - разные, а не тождественно совпадающие.

Дополнение 3 (с корректировкой) @nikolaykruzh...: "Сумма всех коэффициентов a должна быть больше A, а сумма всех коэффициентов b должна быть меньше A". - Нет, это условие не нужно, п.4 оно все равно не спасет, а для пп. 1-3 - не требуется.

Дополнение 4 (ответ на 18.09.2012). Так я же поэтому и настаивал на четком указании, какие из величин в формуле "любые", а какие "найдутся"! В сформулированном виде Ваше утверждение НЕ ВЕРНО. А Ваши аргументы в споре основаны на переводе величин $%a_i$%, $%b_j$% из категории "любые" в категорию "найдутся". Но если их все туда перевести, утверждение полностью поменяет смысл. Вы пытаетесь сформулировать одну задачу, а решать совсем другую. Не буду говорить, как это называется.

Дополнение 5 (ответ на 21.09.2012). Да последняя формулировка абсолютно четкая, т.е. утверждение стало математическим высказыванием. А про высказывание можно абсолютно точно сказать - истинно оно или ложно. Так вот, Ваше высказывание ЛОЖНО! Доказать это очень просто $%A$% - любое? Любое! Выбираем по вкусу. Мне, вот, например, захотелось взять $%A=8$%. Далее, $%n$% и $%k$% любые? Любые (ну, с условием >1, условие выполним). Возьмем $%n=k=2$%. Далее, $%b_1,b_2$% любые? Любые, при условии $%b_1+b_2 \lt 8$%. Возьмем $%b_1=b_2=1$%. И наконец, $%a_1,a_2$% любые? Любые, при условии $%a_1+a_2 \gt 8$%. Возьмем $%a_1=a_2=6$%.
Записываем формулу с этими данными в виде системы уравнений относительно $%x$%: $$ \left \{ \begin{matrix} 8=(1+1)^x\\ 8=(6^x+6^x)^{1/x}\end{matrix}\right. $$ Из первого уравнения следует $%x=3$%, подставляем это значение во второе уравнение $$8=6 \cdot 2^{1/3}$$ Последнее равенство неверно. Таких контрпримеров можно привести сколько угодно, но для опровержения высказывания достаточно одного.

Дополнение 6 (ответ на 22.09.2012). Это условие не спасает. Пусть в моем примере $%b_1=b_2=2$%, остальное без изменений. Имеем : $$ \left \{ \begin{matrix} 8=(2^{1/x}+2^{1/x})^x\\ 8=(6^x+6^x)^{1/x}\end{matrix}\right. $$ Из первого уравнения следует $%x=2$%, подставляем это значение во второе уравнение $$8=6 \cdot \sqrt{2}$$ что опять-таки не верно.

К сожалению, Ваше утверждение НЕ ВЕРНО ПО СУТИ, косметическими правками его не спасти...

Дополнение 7 (ответ на 23.09.2012). Вы, похоже, совершенно не понимаете, что такое логика. Вы формулируете утверждение, я беру это же утверждение, только подставляю вместо букв цифры и получаю неверное числовое равенство. О чем можно еще говорить? Только о поиске ошибки в Вашем утверждении. А Вы, споря со мной, противоречите себе же. Конечно, функция, которую Вы написали, имеет нули. Но каждый ноль этой функции соответствует ВПОЛНЕ ОПРЕДЕЛЕННОМУ значению $%A$%, а отнюдь не ЛЮБОМУ. Если же у Вас $%A$% - любое (так, во всяком случае, написано у Вас в условии), то для выполнения Вашего утверждения эта функция должна быть ТОЖДЕСТВЕННО РАВНА НУЛЮ, что, очевидно, неверно.

Дополнение 8. Если бы на Вашем месте был студент или аспирант, я бы ему сказал примерно следующее: "Молодой человек, без логики нет математики. Поэтому у Вас есть два выхода. Либо серьезно заняться логикой, может быть даже, отодвинув на время все остальное, либо выбрать другую профессию". А что посоветовать Вам, я, честно говоря, и не знаю...