Как доказать теорему? $$Правка\ 07.11.2012$$ Я возвращаюсь к первоначальной формулировке. "Для любого вещественного положительного числа A всегда найдутся вещественные положительные числа $%a_i$% $% (i = 1, 2, ...n), b_j$% $% (j = 1, 2, ...k)$% (n и k - любые натуральные числа, большие 1) и x, такие, что будет выполняться равенство:$$A = ((a_1)^{x} + (a_2)^{x} +...+ (a_n)^{x})^{1/x} = ((b_1)^{1/x} + (b_2)^{1/x}+...+ (b_k)^{1/x})^{x}$$, причём: если x > 1, то сумма всех $%a_i$% > A, а сумма всех $%b_j$% < A при условии, что $%A > a_i, A > b_j$% $$Правка\ 25.09.2012$$

"Для любых вещественных положительных $%a_i$% $% (i = 1, 2, ...n)$%, $%b_j$% $% (j = 1, 2, ...k)$% (n и k - любые натуральные числа, большие 1), всегда найдётся единственная вещественная положительная величина $%x$%,такая, что будет выполняться равенство: $$((a_1)^{x} + (a_2)^{x} +...+ (a_n)^{x})^{1/x} = ((b_1)^{1/x} + (b_2)^{1/x}+...+ (b_k)^{1/x})^{x} = A$$, где A - вещественная положительная величина, удовлетворяющая условиям: сумма всех коэффициентов $$a_i$$ > A, а сумма всех коэффициентов $$b_j$$ < A, причём $$A > a_i, A > b_j$$"
Правка (один из простейших примеров справедливости равенства) $$100 = (60^2 + 80^2)^{1/2} = (36^{1/2}+16^{1/2})^{2}$$

Перенесено из комментария. Андрей Юрьевич, я и свои-то формулы записываю с горем пополам, а Ваши я вообще с трудом расшифровал - не то, что написать. (Низкий поклон @DocentI: теперь и мои формулы выглядят, как у заправского математика!)
@Андрей Юрьевич! Возражение к Дополнению 3. Вы ничего не пишете об условии равенства двух представленных Вами функций. Они существуют сами по себе, а исходная Теорема нацелена на доказательство эквивалентности двух иррациональностей, связанных соответствующим образом, так что, хотите Вы или не хотите, вопрос о соотношении двух этих функций должен стоять ребром. Вопрос о существовании x, заданный сначала мною, затем Вами в двух наших различных формулах, не обыденный, не справедливый для всех случаев жизни. Cумма коэффициентов a, если x> 1, всегда > A (верна и обратная теорема). То же справедливо и для коэффициентов b, но x в этом случае < 1, и сумма всех этих коэффициентов обязана быть < A. Прошу Вас вновь посмотреть мой вопрос "Взаимоотношение векторной алгебры и геометрии" (517 показов - на 15.09.2012 г.), где эта проблема выставлена (хотя и без доказательства - доказательство этого утверждения несложно).
Наконец. Как математически правильно, по-Вашему мнению, словесно сформулировать представленную мною "Теорему об эквивалентности иррациональностей" (чуть не продолжил: "в свете решений XXV съезда КПСС") с точки зрения хорошего, понимающего математика, если Вы не охладели к этой теме (нередко писатель по окончании романа охладевает к своему детищу)? $$18.09.2012.$$ А. Ю., насколько я понял, Вы утверждаете, чтo $$x_1$$ не может быть равен $$x_2$$ в частном случае, выбранном Вами. А у меня в примере (условие задачи) в обеих частях равенства x = 2, и равенство справедливо! Как это можно интерпретировать? Как случайность или как Вашу ошибку? Я настаиваю на необходимости выполнения условий с суммами коэффициентов $$a_i$$ и $$b_j$$: для первого случая сумма > A, для второго - она < A. Без выполнения этих условий моя формула несправедлива - а значит, и Ваша - тоже! $$21.09.2012$$ А. Ю. В моей последней формулировке "комар носа не подточит". Все величины заданы, кроме x, все разумно ограничены. Для любых, заданных согласно условию задачи величин, всегда найдётся соответствующий x. Возразить по существу - нечего, а придраться - можно, если (почему-то!) очень нужно. $$22.09.2012$$ Дополнил: основания не равны 1. Неужели ещё где-то у меня прокол есть? А. Ю., спасибо за терпеливое, отцовское отношение к ребёнку с вздорным характером. $$23.09.2012$$ Ваше опровержение означает, что функция $$y(x) = ((a_1)^{x} + (a_2)^{x} +...+ (a_n)^{x})^{1/x} - ((b_1)^{1/x} + (b_2)^{1/x}+...+ (b_k)^{1/x})^{x}$$ не имеет нуля, т. е. не имеет такого значения x, при котором y(x) = 0. "Но этого не может быть, потому что не может быть никогда" (А. П. Чехов). Вы приравниваете одну часть уравнения к его исходному значению, из этого равенства находите значение x и подставляете в другую часть. В результате, конечно, второго равенства нет и не будет. $$NB!$$ При любых основаниях всегда найдётся такое x, которое одновременно удовлетворит обеим частям исходного равенства - вот исходный пункт моей теоремы. Вы же продолжаете настаивать на той ложной позиции, что $$x_1$$ не равно $$x_2$$, хотя я этого никогда не утверждал, и из моей формулы это никак не следует.(Да, Вы правы. Величина A появляется уже поcле определения x*. Поэтому она из числа тех, что "всегда найдётся". С логикой у меня всегда были проблемы, к сожалению... Припоминаю: поймаешь, бывало, крупную рыбу (а это так редко удавалось!), сознание вообще пропадало. Мне почему-то показалась эта теорема очень важной - вроде той рыбы!).
$$28.09.2012$$"Вы, похоже, совершенно не понимаете, что такое логика". @ Андрей Юрьевич! У меня проблемы с логикой потому, что она у меня не в голове, а пришита сзади - в виде хвоста!

задан 3 Сен '12 22:15

изменен 7 Ноя '12 21:45

1

Во избежание недоразумений хотелось бы, чтобы формулировки вопросов были исчерпывающими, логически замкнутыми и использовали только стандартную (общепринятую) математическую терминологию. Что такое "иррациональность какой-то степени"? Что такое "полученная на основе"? Что такое "сумма оснований"? И вообще, зачем описывать формулу словами? Лучше написать саму формулу и расшифровать обозначения - так будет понятнее.

(4 Сен '12 13:20) Андрей Юрьевич
1

Все-таки, отредактируйте, пожалуйста, сам вопрос. Не стоит формулировать вопрос при помощи разрозненных комментариев.

(4 Сен '12 15:48) Андрей Юрьевич

Всецело с Вами согласен. Спасибо. Отредактировал. Жалко, но у меня всегда спустярукавашное отношение к формулировкам не только в математике. Многие в ответе на вопрос "Зачем нужна математика?" уверяли меня, что математика дисциплинирует ум - я им не поверил: ничего подобного у меня нет. Я много раз переделываю первоначальную мысль в зависимости от обстоятельств: сначала выражаю её как бы начерно, потом несколько раз делаю правку уже готового определения - частенько под внешним давлением, как сейчас. Всегда завидовал тем, кто мыслит чётко, как Сталин (не к ночи будь он помянут!)

(4 Сен '12 22:39) nikolaykruzh...
1

Мыслят все по-разному, но формулировать мысли необходимо аккуратно и четко - иначе Вас просто не будут понимать. Формализм - это как компромисс - никому не нравится, но все понимают, что по-другому нельзя. Кстати, Ваша формулировка осталась нечеткой: не сказано, что такое x, не сказано, какие из величин заданы, а какие подбираются. Формулировка должна быть такой: Доказать, что для любых вещественных ... и любых натуральных ... найдутся такие вещественные ... и такие натуральные ..., что будет выполнено равенство ... .

(5 Сен '12 3:02) Андрей Юрьевич

Я почти уверен, что ко мне даже Аристотель не придрался бы, а вот Вы находите неровности на гладкой поверхности... Все числа вещественные , положительные, в том числе и x. Если Вы хотите сформулировать теорему по-своему, сделайте это так, чтобы заданная мною формула осталась неизменной. Ваша образцовая формулировка вполне разместится в поле комментария, а я перенесу её на место исходного текста. Вас устроит такой компромисс?

(5 Сен '12 14:17) nikolaykruzh...

Зачем так сложно? Давайте, я просто отредактирую Ваш вопрос. Если не возражаете...

(10 Сен '12 21:01) Андрей Юрьевич

Конечно, не возражаю.

(12 Сен '12 2:02) nikolaykruzh...

Андрей Юрьевич, ещё одно условие, очень нужное, без которого Ваше решение неверно. Сумма всех коэффициентов a должна быть больше A, а сумма всех коэффициентов b должна быть меньше A. Пожалуйста, отразите в Вашем решении (исходные данные) эти два требования. В условие задачи (Перенесено из комментария) я внёс соответствущие поправки... Моё доказательство по краткости и эстетичности, конечно, значительно уступает Вашему (сказывается различие уровней математического кругозора и знаний). Но мне приятно сознавать, что эта задача Вас заинтересовала (уж очень настойчивы Вы были!).

(14 Сен '12 22:56) nikolaykruzh...
2

К вопросу о математической строгости. Математики требуют, чтобы про каждую величину было сказано "любая" она или "существует", "некоторая". Но это же важно и в обычном языке, чтобы не было путаницы. Как, например, здесь:

"Зритель у нас замечательный! Нам бы еще таких два – три!"

В первой фразе имеется в виду любой зритель (точнее, вся их совокупность), а во второй - конкретный.

(15 Сен '12 13:04) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

Все-таки, я решил не редактировать вопрос, а написать ответ. Итак, как я уже сказал, формулировка все-равно остается не четкой. Привожу возможные варианты четких формулировок.

Формулировка 1. Для любых положительных действительных чисел $%A$% и $%x$% найдутся такие натуральные $%n$% и $%k$% и такие наборы действительных чисел $%\left \{ a_i \right \}$%, $%\left \{ b_j \right \}$%, $%i=1,2...n$%, $% \; j=1,2...k$%, что выполняется равенство $$ A=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ Это утверждение тривиально. Достаточно взять $%n=k=1$%, $%\; a_1=b_1=A$%.

Формулировка 2. Для любого положительного действительного $%A$%, любых натуральных $%n$% и $%k$% и любых наборов действительных неотрицательных чисел $%\left \{ a_i \right \}$%, $%\left \{ b_j \right \}$%, $%i=1,2...n$%, $% \; j=1,2...k$%, найдется такое действительное $%x$%, что будет выполнятся равенство $$ A=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ Это утверждение заведомо неверно. Достаточно взять $%a_1=b_1=2A$%, $%\; a_i=0,b_j=0$%, при $%i>1,j>1$%.

Формулировка 3. Для любых положительных действительных чисел $%A$% и $%x$%, любых натуральных $%n$% и $%k$% найдутся такие наборы действительных чисел $%\left \{ a_i \right \}$%, $%\left \{ b_j \right \}$%, $%i=1,2...n$%, $% \; j=1,2...k$%, что выполняется равенство $$ A=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ Это утверждение тоже тривиально (см. резюме к Формулировке 1).

Как видите, вариантов формулировок много и все это - разные утверждения. Что же именно Вы имеете в виду?

Ответ принимаю только в виде такой же формулировки.

Дополнение 1 (по поводу перенесенной из комментария части вопроса). Ничего не сказано про $%n$% и $%k$% - они из разряда "для любых" или из разряда "найдутся"? Исправил, т.к. сначала не заметил добавленных условий $%a_i \lt A$%, $%b_j \lt A$% .

Дополнение 2 (ответ на комментарий про "тонкости" и на откорректированный вопрос). Неужели Вы не видите, как эти самые "тонкости" превращают, словно по волшебству, Ваше утверждение то в неверное, то в тривиальное. И прошу заметить, что Вы формулируете чисто математическую задачу. Если бы эта задача вытекала из какой-то практической, можно было бы апеллировать к опыту и к здравому смыслу. А так - есть только чистая логика. Меня это все как раз и заинтересовало с точки зрения "дисциплины мышления", о которой Вы говорили.

Что касается Вашего откорректированного утверждения, то оно теперь стало неверным. $%n$% и $%k$% - любые? Любые. Значит мы их взять какими угодно. Возьмем $%n=k=1$%. $%a_1$% и $%b_1$% у нас тоже любые. Возьмем их $%a_1=b_1=A/2$%. Формула сведется к равенству $%A=A/2$%, которое выполняется только для $%A=0$%, а отнюдь не для любого $%A$%.

Собственно, решение (с корректировкой). Наконец-то задача сформулирована, можно ее решить. Рассмотрим 2 функции $$ f(x)=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}, \;\; g(x)=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$ $$x>0, \;\; n \ge 2, \;\; k \ge 2, \;\; a_i>0, \;\; b_j>0$$ Будем считать, что $%a_i$% и $%b_j$% перенумерованы так, что $%a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n$%, $%b_1 \ge b_2 \ge ... \ge a_k$%.

1) Докажем, что области значений этих функций включают диапазон $%(a_1, +\infty)$% или $%(b_1, +\infty)$%, соответственно.
Функции непрерывны на всей своей области определения, кроме того, $%f(x) \to +\infty$%, при $%x \to 0$% и $%f(x) \to a_1$%, при $%x \to +\infty$%, а $%g(x) \to +\infty$%, при $%x \to +\infty$% и $%g(x) \to b_1$%, при $%x \to 0$%. В силу непрерывности, в множества значений функций будут полностью входить указанные диапазоны.

2) Докажем, что для любого $%A>a_1$% существует такое $%x_1>0$%, что $%A=f(x_1)$%.
Это утверждение следует из того, что $%x_1$% принадлежит области определения функции $%f(x)$%, а $%A$% принадлежит множеству ее значений.

3) Докажем, что для любого $%A>b_1$% существует такое $%x_2>0$%, что $%A=g(x_2)$%.
Аналогично п.2.

4) Докажем, что, вообще говоря, $%x_1 \ne x_2 $%. Достаточно это сделать для какого-нибудь частного случая. Возьмем, например, $%a_i=b_j=a$%, $%n \gt k$%. Условие $%f(x)=g(x)=A$% превратится в $%a \cdot n^x = a \cdot k^{1/x} = A$%. Это система двух уравнений для одного неизвестного $%x$%, она, вообще говоря, несовместна, ч.т.д. Это если формально. А если неформально, то условие $%x_1 \ne x_2 $% следует из того, что функции $%f(x)$% и $%g(x)$% - разные, а не тождественно совпадающие.

Дополнение 3 (с корректировкой) @nikolaykruzh...: "Сумма всех коэффициентов a должна быть больше A, а сумма всех коэффициентов b должна быть меньше A". - Нет, это условие не нужно, п.4 оно все равно не спасет, а для пп. 1-3 - не требуется.

Дополнение 4 (ответ на 18.09.2012). Так я же поэтому и настаивал на четком указании, какие из величин в формуле "любые", а какие "найдутся"! В сформулированном виде Ваше утверждение НЕ ВЕРНО. А Ваши аргументы в споре основаны на переводе величин $%a_i$%, $%b_j$% из категории "любые" в категорию "найдутся". Но если их все туда перевести, утверждение полностью поменяет смысл. Вы пытаетесь сформулировать одну задачу, а решать совсем другую. Не буду говорить, как это называется.

Дополнение 5 (ответ на 21.09.2012). Да последняя формулировка абсолютно четкая, т.е. утверждение стало математическим высказыванием. А про высказывание можно абсолютно точно сказать - истинно оно или ложно. Так вот, Ваше высказывание ЛОЖНО! Доказать это очень просто $%A$% - любое? Любое! Выбираем по вкусу. Мне, вот, например, захотелось взять $%A=8$%. Далее, $%n$% и $%k$% любые? Любые (ну, с условием >1, условие выполним). Возьмем $%n=k=2$%. Далее, $%b_1,b_2$% любые? Любые, при условии $%b_1+b_2 \lt 8$%. Возьмем $%b_1=b_2=1$%. И наконец, $%a_1,a_2$% любые? Любые, при условии $%a_1+a_2 \gt 8$%. Возьмем $%a_1=a_2=6$%.
Записываем формулу с этими данными в виде системы уравнений относительно $%x$%: $$ \left \{ \begin{matrix} 8=(1+1)^x\\ 8=(6^x+6^x)^{1/x}\end{matrix}\right. $$ Из первого уравнения следует $%x=3$%, подставляем это значение во второе уравнение $$8=6 \cdot 2^{1/3}$$ Последнее равенство неверно. Таких контрпримеров можно привести сколько угодно, но для опровержения высказывания достаточно одного.

Дополнение 6 (ответ на 22.09.2012). Это условие не спасает. Пусть в моем примере $%b_1=b_2=2$%, остальное без изменений. Имеем : $$ \left \{ \begin{matrix} 8=(2^{1/x}+2^{1/x})^x\\ 8=(6^x+6^x)^{1/x}\end{matrix}\right. $$ Из первого уравнения следует $%x=2$%, подставляем это значение во второе уравнение $$8=6 \cdot \sqrt{2}$$ что опять-таки не верно.

К сожалению, Ваше утверждение НЕ ВЕРНО ПО СУТИ, косметическими правками его не спасти...

Дополнение 7 (ответ на 23.09.2012). Вы, похоже, совершенно не понимаете, что такое логика. Вы формулируете утверждение, я беру это же утверждение, только подставляю вместо букв цифры и получаю неверное числовое равенство. О чем можно еще говорить? Только о поиске ошибки в Вашем утверждении. А Вы, споря со мной, противоречите себе же. Конечно, функция, которую Вы написали, имеет нули. Но каждый ноль этой функции соответствует ВПОЛНЕ ОПРЕДЕЛЕННОМУ значению $%A$%, а отнюдь не ЛЮБОМУ. Если же у Вас $%A$% - любое (так, во всяком случае, написано у Вас в условии), то для выполнения Вашего утверждения эта функция должна быть ТОЖДЕСТВЕННО РАВНА НУЛЮ, что, очевидно, неверно.

Дополнение 8. Если бы на Вашем месте был студент или аспирант, я бы ему сказал примерно следующее: "Молодой человек, без логики нет математики. Поэтому у Вас есть два выхода. Либо серьезно заняться логикой, может быть даже, отодвинув на время все остальное, либо выбрать другую профессию". А что посоветовать Вам, я, честно говоря, и не знаю...

ссылка

отвечен 11 Сен '12 16:54

изменен 23 Сен '12 23:21

Формулировки 1 и последняя 3 (тривиальные утверждения) n=k=1, a(1)= b(1)=A(до сих пор не знаю, как ставить нижние индексы - у Вас же это получается великолепно!). Если вместо A поставить 2A, получим первую формулировку 3, т. е. утверждение тоже неверно. Никакой тривиальности нет. И что из этого следует? Что вопрос сформулирован неверно во всех трёх случаях? Что такое равенство, которое математически Вы сформулировали во всех случаях одинаково, но которое словесно сопроводили в трёх вариантах, неверно? Что понимать под требованием: "Ответ принимаю только в виде такой же формулировки"?

(12 Сен '12 1:02) nikolaykruzh...

Все 3 утверждения - разные. 1-е и 3-е верные (и тривиальные), 2-е неверное. И вообще, из Вашего исходного утверждения (которое в математическом смысле утверждением не является) можно построить еще с десяток строгих высказываний, среди которых будут и верные, и неверные. "Ответ принимаю только в виде такой же формулировки" означает, что высказывание (формулировка теоремы) должно быть абсолютно строгим, только тогда его можно обсуждать.

(12 Сен '12 1:13) Андрей Юрьевич

Андрей Юрьевич! Вы так поздно ложитесь спать?! А здоровье беречь Господь Бог за Вас будет?.. Впрочем, к математике это отношения не имеет... У меня словами формула выражается так: "В n-мерном и k-мерном линейных векторных пространствах всегда найдётся вектор A,такой, что модули обоих будут равны между собой". Что тут нелогичного, нестрогого?

(12 Сен '12 2:14) nikolaykruzh...

Мне кажется, у Вас полностью гуманитарный склад мышления. Вам бы больше подошел какой-нибудь гуманитарный форум - по литературе, искусству или по философии. Про векторные пространства давайте не будем - мы это все уже проходили. Пусть будет только Ваша формула. Вопрос простой - какие из величин в ней заданы, а какие требуется найти? В зависимости от этого все кардинально меняется.

(12 Сен '12 2:23) Андрей Юрьевич

@nikolaykruzh... Вы пишете: "...найдётся вектор A,такой, что модули обоих...". Кого обоих? Тем более, что в Вашем вопросе A - это не вектор, а его норма (длина).

Чтобы поставить нижний индекс, используется символ подчеркивания: внутри "долларов". Если индекс состоит из нескольких знаков, берем их в фигурные скобки. Только не ставьте перед подчеркиванием пробелы и фигурные скобки.

(12 Сен '12 11:06) DocentI

@nikolaykruzh..., еще раз повторяю, Ваша задача должна формулироваться так: "Для любых ... найдутся такие ..., что будет выполняться формула $$ A=(\sum_{i=1}^n a_i^x)^{1/x}=(\sum_{j=1}^k b_j^{1/x})^x$$". Вместо многоточий должны стоять все идентификаторы переменных, т.е. буквы, входящие в формулу, причем, каждая из этих букв должна войти в какое-то многоточие (либо в первое, либо во второе). Только после этого задачу можно считать строго сформулированной.

(12 Сен '12 11:40) Андрей Юрьевич

Уважаемая @DocentI, спасибо Вам за объяснение. Имеется в виду, что "...модули в обоих случаях...". Да, у меня действительно гуманитарный склад ума. Уже после отправки своего комментария я понял, что последняя часть равенства не имеет отношения к векторному пространству, хотя всё равенство справедливо и в этом случае... Например: 100 = (60^{2}+80^{2})^{1/2} = (36^[1/2}+16^{1/2})^{2} - это только для целых чисел. Тем более, это справедливо для любых вещественных положительных чисел.Так что заведомо неверно брать в качестве контрпримера числа, большие A (т.е. 2A), при которых равенства нет.

(12 Сен '12 23:30) nikolaykruzh...

Я продолжаю настаивать на заполнении многоточий в моем шаблоне. Без этого разговор оказывается совершенно беспредметным.

(13 Сен '12 0:41) Андрей Юрьевич

Я внёс изменения в Перенесено из комментария,но уже не уверен, что математики поймут меня правильно. Господи, сколько у вас тонкостей, с точки зрения здравомыслящего человека не имеющих смысла!

(13 Сен '12 22:24) nikolaykruzh...

Такого человека нельзя считать здравомыслящим.

(14 Сен '12 0:00) DocentI
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,769

задан
3 Сен '12 22:15

показан
912 раз

обновлен
7 Ноя '12 21:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru