$$y'+2y-y^2=0$$

задан 8 Янв '12 15:01

изменен 8 Янв '12 16:52

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

2

Всего лишь три ошибки в четырех словах. А, ведь, мог и больше.

(8 Янв '12 15:53) BuilderC
10|600 символов нужно символов осталось
1

Все очень просто. Это уравнение с разделяющимися переменными.

$$\frac{dy}{dx}=y^2-2y$$ $$\frac{dy}{y^2-2y}=dx$$ $$\int \frac{dy}{y^2-2y}=\int dx$$ $$\frac{1}{y^2-2y}=\frac{1}{y(y-2)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-2}=\frac{Ay-2A+By}{y(y-2)}$$ $$Ay-2A+By=1$$ $$y(A+B)=0, -2A=1$$ $$A=-1/2, B=1/2$$ $$\frac{1}{y(y-2)}=-\frac{1}{2y}+\frac{1}{2(y-2)}$$ $$\int\frac{-1}{2y} dy + \int \frac{1}{2(y-2)} dy = \int dx$$ $$-\frac{1}{2} ln|y| + \frac{1}{2} ln|y-2|=x+C$$ $$|\frac{ln|(y-2)}{y}|=2x+2C$$

ссылка

отвечен 8 Янв '12 17:00

изменен 8 Янв '12 17:20

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Конечно же, это уравнение с разделяющимися переменными. Но для расширения горизонта решим как уравнение Бернулли Замена $$y=uv; y'=u'v+uv' $$ $$u'v+uv'+2uv=u^2v^2$$ . Такая же замена годится для линейных уравнений. Группируем $$u'v+u(v'+2v)=u^2v^2$$ Решаем $$v'+2v=0 \Rightarrow v=e^{-2x}$$ Получим $$u'v+u(v'+2v)=u^2v^2 \Rightarrow u'v+=u^2v^2 ;u'+=u^2v $$ $$u'=u^2e^{-2x} \Rightarrow \int {\frac {du} {u^2}} =\int {e^{-2x}}dx$$ Дальше надо осилить самому. Не забудь, как будет найдено u=u(x,C), сразу находим общее решение $$y=uv $$

ссылка

отвечен 8 Янв '12 17:05

изменен 8 Янв '12 17:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Уравнение вида $%y'+P(x)y=Q(x)y^n, n\neq 0,1$% называется уравнением Бернулли и решается стандартно. Например, заменим $%z=1/y$%, тогда уравнение $%y'+2y-y^2=0$% сведется к линейному уравнению

$$\frac{dz}{dx}-2z=-1$$

которое решается методом Лагранжа.

ссылка

отвечен 8 Янв '12 17:10

1

Нет, это устарелая метода через сведее к линейному уравнению. Сейчас решают прямым методом . Век -то 21, некогда думать, решать надо. Более точней , можно сказать, что и вручную их не решают. Есть отличные помощники типа Maple, Mathematica. Этот форум просто развлечение и, конечно, существенная помощь для вопрошающих.

(8 Янв '12 18:13) ValeryB
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×780

задан
8 Янв '12 15:01

показан
1905 раз

обновлен
8 Янв '12 18:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru