|
Все очень просто. Это уравнение с разделяющимися переменными. $$\frac{dy}{dx}=y^2-2y$$ $$\frac{dy}{y^2-2y}=dx$$ $$\int \frac{dy}{y^2-2y}=\int dx$$ $$\frac{1}{y^2-2y}=\frac{1}{y(y-2)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y-2}=\frac{Ay-2A+By}{y(y-2)}$$ $$Ay-2A+By=1$$ $$y(A+B)=0, -2A=1$$ $$A=-1/2, B=1/2$$ $$\frac{1}{y(y-2)}=-\frac{1}{2y}+\frac{1}{2(y-2)}$$ $$\int\frac{-1}{2y} dy + \int \frac{1}{2(y-2)} dy = \int dx$$ $$-\frac{1}{2} ln|y| + \frac{1}{2} ln|y-2|=x+C$$ $$|\frac{ln|(y-2)}{y}|=2x+2C$$ отвечен 8 Янв '12 17:00 
олеся |
|
Конечно же, это уравнение с разделяющимися переменными. Но для расширения горизонта решим как уравнение Бернулли Замена $$y=uv; y'=u'v+uv' $$ $$u'v+uv'+2uv=u^2v^2$$ . Такая же замена годится для линейных уравнений. Группируем $$u'v+u(v'+2v)=u^2v^2$$ Решаем $$v'+2v=0 \Rightarrow v=e^{-2x}$$ Получим $$u'v+u(v'+2v)=u^2v^2 \Rightarrow u'v+=u^2v^2 ;u'+=u^2v $$ $$u'=u^2e^{-2x} \Rightarrow \int {\frac {du} {u^2}} =\int {e^{-2x}}dx$$ Дальше надо осилить самому. Не забудь, как будет найдено u=u(x,C), сразу находим общее решение $$y=uv $$ отвечен 8 Янв '12 17:05 
ValeryB |
|
Уравнение вида $%y'+P(x)y=Q(x)y^n, n\neq 0,1$% называется уравнением Бернулли и решается стандартно. Например, заменим $%z=1/y$%, тогда уравнение $%y'+2y-y^2=0$% сведется к линейному уравнению $$\frac{dz}{dx}-2z=-1$$ которое решается методом Лагранжа. отвечен 8 Янв '12 17:10 
Васёк 1
Нет, это устарелая метода через сведее к линейному уравнению. Сейчас решают прямым методом . Век -то 21, некогда думать, решать надо. Более точней , можно сказать, что и вручную их не решают. Есть отличные помощники типа Maple, Mathematica. Этот форум просто развлечение и, конечно, существенная помощь для вопрошающих.
(8 Янв '12 18:13)
ValeryB
|
Всего лишь три ошибки в четырех словах. А, ведь, мог и больше.