|
Дан ненулевой вектор. Требуется построить ненулевой вектор, ортогональный данному. Конечно, задача имеет неединственное решение, но желательно указать как можно более простое такое выражение. Например, в двумерном случае для вектора $%\vec{x}=(x_1, x_2)$% можно взять вектор $%\vec{y}=(-x_2, x_1).$% Аналогично можно поступить в случае произвольного чётного числа измерений. В случае 3-х измерений среди координат вектора $%\vec{x}=(x_1, x_2, x_3)$% хотя бы одна обязана быть ненулевой, и если это - одна из координат $%x_1$% либо $%x_2$%, то условию удовлетворяет вектор $%\vec{y}=(-x_2, x_1, 0),$% а если они обе нулевые, то отлична от нуля координата $%x_3,$% и можно взять вектор $%\vec{y}=(0, -x_3, x_2).$%. Таким образом, уже в случае 3-х измерений приходится проверять некоторое условие. Этого хотелось бы избежать. задан 27 Окт '15 0:39 
armez |
|
Как вариант можно вычислить векторное произведение данного вектора $%\bar{x}=(x_1;x_2;x_3)$% и, например, вектора $%\bar{a}=(1;1;1)$%... получим вектор $%\bar{y}=(x_2-x_3;x_3-x_1;x_1-x_2)$%, который перпендикулярен вектору $%\bar{x}$%... а если полученный вектор нулевой, то в качестве перпендикулярного вектора берём $%\bar{y_1}=(1;-1;0)$% ... Проверка конечно тут есть, но она одна, а не две как в случае рассмотрения ненулевых координат исходного вектора... отвечен 27 Окт '15 2:06 
all_exist Для 3-х-мерного случая в тексте вопроса явно приведены два вектора, из которых хотя бы один удовлетворяет условиям. Это тоже одна проверка.
(27 Окт '15 14:14)
armez
|
@armez: у Вас есть три координаты a,b,c. Координаты ортогонального вектора удовлетворяют уравнению ax+by+cz=0, и это условие необходимо и достаточно. Понятно, что есть ненулевая координата, и тогда два числа задаём как попало, а третье выражаем. Это описывает множество всех решений. А совсем без проверок на какие-то условия -- на первый взгляд кажется, что нельзя.
@falcao, насчёт необходимого и достаточного условия вопросов не было. Мне тоже кажется, что нельзя, но я не могу этого доказать. Поэтому и задал вопрос. Если у Вас есть доказательство, покажите.
@armez: сначала надо точно сформулировать, что мы хотим доказать. Скажем, для двумерного случая есть формула (-b,a), дающая ненулевой вектор, где координатами являются линейные формы. Можно тогда показать, что такого вида формул для трёхмерного случая нет. Но достаточно ли этого? Или надо какой-то более общий факт доказывать? Ограничения должны касаться вида функций для координат.
Формулировка - в тексте вопроса. Никаких ограничений на вид выражения (только линейные формы и т.п.) нет. Конечно, разрывные множители (неявно выражающие проверки условий) - не в счёт.