Дан параллелограмм KLMN. На сторонах LM и MN взяты соответственно точки А и В. LF=AF(F принадлежит LM) и BD=DN (D принадлежит MN). F соединили с серединой KN, также D соединили с серединой KL. Две полученные прямые пересеклись в точке P. Доказать, что KP делит отрезок АВ пополам

задан 28 Окт '15 23:50

изменен 29 Окт '15 23:10

10|600 символов нужно символов осталось
2

Не так давно, если я правильно помню, давали ссылку вот на эту задачу. И там, и здесь фигурирует 6-угольник с попарно параллельными сторонами. Причём на самом деле это не фигура, а 6 точек, которые могут быть расположены как угодно. В таких случаях удобно рассуждать на языке векторов. В задаче из условия "6-угольник" имеет вид KLABNK; первая и последняя вершины совпадают.

Нам известна параллельность нескольких сторон, а также на сторонах указаны их середины. Сделаем это также для AB, отметив там середину Q. Доказать надо то, что точки A, P, Q лежат на одной прямой.

Так же точно, как скалярное произведение удобно для анализа перпендикулярности прямых, для анализа коллинеарности подходит векторное произведение. Однако я считаю, что его конструкция во многом искусственна, и выход в пространство тут в принципе не нужен. Достаточно такой полезной во многих задачах конструкции как "косое произведение". Это то же самое, что скалярное произведение, но с синусом вместо косинуса. Алгебраические свойства у него те же (линейность и прочее). Правда, угол там считается ориентированным, поэтому оно антикоммутативно, в отличие от скалярного. А проекция векторного произведения на ось, перпендикулярную плоскости, как раз и равна косому произведению (то есть числу). Обозначать я буду это произведение символом $%\circ$%. При желании, можно всё то же самое сделать через $%\times$%.

Я возьму в качестве "начала отсчёта" точку $%P$%, и все векторы буду рассматривать как радиус-векторы. Тогда $%\vec{X}$% означает $%\vec{PX}$%, и коротко тот же вектор будет обозначаться в виде просто $%x$% без "стрелочки" (которую утомительно много раз набирать).

Запишем то, что мы знаем. Поскольку $%AL$% параллельна $%KN$%, косое произведение соответствующих векторов равно нулю: $%(l-a)\circ(n-k)=0$%. Аналогично, $%(l-k)\circ(n-b)=0$%. Середины отрезков у нас выражаются как $%f=(a+l)/2$%, $%d=(b+n)/2$%, а также $%q=(a+b)/2$%. Есть ещё "безымянные" середины сторон $%KL$% и $%KN$%. Их мы буквенно обозначать не будем, а скажем, что это $%(k+l)/2$% и $%(k+n)/2$%.

Теперь рассмотрим тот факт, что $%FP$% проходит через середину $%KN$%. Это означает коллинеарность двух векторов с началом $%P$%, откуда мы имеем равенство $%(k+l)\circ(b+n)=0$%. Аналогично, $%(a+l)\circ(k+n)=0$%.

Итак, вся информация записана в виде уравнений, а доказать мы хотим коллинеарность $%q$% и $%k$%, то есть равенство $%q\circ k=0$%, а оно равносильно $%(a+b)\circ k=0$%.

У нас есть 4 уравнения, и я повторно выписывать их не буду, а укажу лишь то, как из них извлечь требуемое следствие. Надо сложить 1-е и 4-е уравнение. Тогда что-то сократится, и после деления на 2 получится $%a\circ k+l\circ n=0$%. Из 2-го и 3-го уравнения аналогично получаем $%b\circ k-l\circ n=0$%. Сложив два следствия, имеем то, что нужно.

Этот способ, конечно, не является единственным, но он хорош тем, что всё получается автоматически (и не может не получиться, если верно само доказываемое утверждение).

ссылка

отвечен 29 Окт '15 3:18

И из 2 и 3 уравнений мы же получаем b∘k+l∘n=0 Не так ? Но если (l-k)∘(n-b) на (k-l)(n-b) ,тогда же все получится , потому что синус 180 тоже равен о?

(29 Окт '15 22:55) NataliaIvanova

@NataliaIvanova: ln-kn-lb+kb=0, kb+lb+kn+ln=0. Сложили, получили ln+kb=0, то есть bk=-kb=ln ввиду антикоммутативности. Всё было правильно.

(29 Окт '15 23:00) falcao

Извините. А так на самом деле очень хороший способ, как например, вводить способ введение афинной системы координат. Действительно, такими способами можно придти к желаемому результату автоматически, и это очень нравится.

(29 Окт '15 23:09) NataliaIvanova

@NataliaIvanova: да, согласен. Я когда в школе учился, то любил решать всё что можно при помощи векторов. На олимпиадах это могло сэкономить время, так как придумывать ничего не надо.

(29 Окт '15 23:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,672
×53

задан
28 Окт '15 23:50

показан
739 раз

обновлен
29 Окт '15 23:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru