Здравствуйте.
Дана однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: $%\begin{cases}y'_1(t)=-7y_1-8y_2\\y'_2(t)=4y_1+y_2\end{cases}$%

В данной системе собственными числами будут комплексные числа, и вот как с ними решали я не могу понять.

Решение с методички
Мое решение

  1. Почему находили собственный вектор только для одного собственного числа, почему именно для числа с минусом у мнимой части?
  2. Как решили систему при поиске этого собственного вектора.

задан 29 Окт '15 21:48

изменен 31 Окт '15 14:14

Обязательно решать этим методом?

(29 Окт '15 21:54) epimkin

Да, именно ним. Я не понял метод, хочу набить руку на нем.

(29 Окт '15 21:54) Alex23
1

@Alex23: собственные числа сопряжены. Если для одно из них (любого из двух) найти собственные векторы, то для другого они окажутся сопряжёнными, и их отдельно находить не нужно.

Способы решения систем с комплексными числами ровно те же, как и в действительном случае: метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Строки там пропорциональны, и можно оставить одно уравнение, выражая одну координату через другую.

(29 Окт '15 22:56) falcao

@falcao, спасибо, удалось продвинутся.
Я не могу понять как записать решение. Я нашел собственный вектор для первого собственного числа, затем используя комплексную сопряженность записал собственный вектор для второго собственного числа. Если записать элементы ФСР в скалярном виде, то выходит $%y_{11}(t),y_{12}(t)$% для первого собственного числа, $%y_{21}(t),y_{22}(t)$% для второго собственного числа. Но каждая из этих функций имеет действительную часть и мнимую часть. И выходит, что имеем дело с 4-мя действительными частям и 4-мя мнимыми. И вот как их скомпоновать в решение я не понимаю.

(31 Окт '15 14:14) Alex23

Добавил в вопрос свое решение где я на этом моменте и остановился.
P.S. В случае действительных чисел я понимаю как записывать. А тут из-за разделения на действительную и мнимым части возникают сложности.

(31 Окт '15 14:15) Alex23

@Alex23: никаких сложностей там нет, потому что есть готовая процедура. Она описана в методичке, и обоснована в теории. Поэтому надо просто взять её в готовом виде, не изобретая ничего своего. Там есть два вектора, дающие базисные решения. Их нужно взять с коэффициентами C1, C2 и записать в координатном виде.

(31 Окт '15 14:47) falcao

Имеем собственный вектор $%\binom{2}{-i+1}$% для первого собственного числа $%-3-4i$%.
Имеем собственный вектор $%\binom{2}{i+1}$% для второго собственного числа $%-3+4i$% (вектор получили используя комплексную сопряженность).
Решение системы в векторном виде имеет вид $%\binom{x}{y}=C_{1}e^{(-3-4i)t}\binom{2}{-i+1}+C_{2}e^{(-3+4i)t}\binom{2}{i+1}$%, отсюда, с использованием формулы Эйлера получим в координатой форме решения.
Но все-равно $%i$% остается в решении (если я правильно преобразовал). Что я делаю не так?

(1 Ноя '15 22:55) Alex23

@Alex23: в принципе, всё так, только Вы идёте сложным путём. Дело в том, что Вы получаете комплекснозначные решения, и они зависят от 2-х комплексных параметров (константы здесь тоже комплексные), то есть от 4-х действительных. В исходной задаче все функции вещественнозначны, и хотя в процессе вычислений комплексные числа используются, но в итоге их быть не должно. Для этого в теории (см. учебники) специально разрабатывается процедура разделения действительных и мнимых частей с получением экспонент, синусов и косинусов. И получается "рецепт" из методички. Поэтому лучше не делать лишней работы.

(2 Ноя '15 3:09) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×869
×281

задан
29 Окт '15 21:48

показан
371 раз

обновлен
2 Ноя '15 3:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru