Здравствуйте! Нужно найти все конечные группы, число классов сопряжённости которых равно $%а.\ 1, б. \ 2, в. \ 3$%.

задан 1 Ноя '15 22:44

изменен 1 Ноя '15 22:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

Первая задача совсем очевидная (единичный элемент сопряжён только себе, поэтому кроме него в группе ничего нет). Вторая задача тоже простая: если в группе $%n$% элементов, то все неединичные элементы образуют класс сопряжённых. Отсюда $%n$% делится на $%n-1$% (число элементов любого к.с.э. есть делитель порядка группы), поэтому $%n=2$%. Группа является циклической порядка 2.

Третья задача более интересна. Число элементов в каждом из к.с.э. здесь равно $%1$%, $%k$%, $%l$%, где порядок группы равен $%1+k+l$%. Можно считать, что $%k\le l$%. Поскольку порядок группы делится и на $%k$%, и на $%l$%, у нас получается, что $%1+l$% делится на $%k$% и $%1+k$% делится на $%l$%. Из второго условия $%l\le k+1$%, поэтому рассматриваем два случая.

а) $%l=k$%. Здесь $%k+1$% делится на $%k$%, откуда $%k=1$%. Тогда порядок группы равен трём. Это циклическая группа порядка 3. Поскольку она абелева, все к.с.э. одноэлементны, и она удовлетворяет условию.

б) $%l=k+1$%. Здесь $%l+1=k+2$% делится на $%k$%. Это значит, что $%k=1$% или $%k=2$%. В первом случае $%l=2$%, и в группе получается $%1+k+l=4$% элемента. Однако все группы порядка 4 абелевы (это $%\mathbb Z_4$% и $%\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$%), и в них обеих имеется 4 (одноэлементных) к.с.э.

Наконец, пусть $%k=2$% и $%l=3$%. В группе $%1+k+l=6$% элементов, и она неабелева. Единственная такая группа -- это $%S_3$%. Она условию удовлетворяет: в неё один единичный к.с.э., один к.с.э. из транспозиций (три элемента), и один к.с.э. из тройных циклов (два элемента).

Таким образом, ответов в последней задаче будет $%\mathbb Z_3$% или $%S_3$%.

ссылка

отвечен 1 Ноя '15 23:11

@falcao: У меня вопрос - как Вы во всех случаях определяли, что группа абелева и циклическая или нет?

(2 Ноя '15 17:02) Math_2012

@falcao: И ещё вопрос - а $%Z_3$% неабелева разве? Или мы её не отмели, потому что классов сопряжённости в ней 3? Что-то я запуталась. В общем, почему мы оставили $%Z_3$%?

(2 Ноя '15 17:58) Math_2012
1

@Math_2012: все циклические группы абелевы, включая $%\mathbb Z_3$%. В ней все к.с.э. одноэлементны, поэтому их три. А нам такие группы с тремя классами и были нужны. Мы не брали группы порядка 4, так как они абелевы (это надо уметь доказывать, но это несложный факт), и тогда в них 4 класса вместо трёх.

(2 Ноя '15 21:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,240
×880

задан
1 Ноя '15 22:44

показан
958 раз

обновлен
2 Ноя '15 21:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru