|
Пусть f, g - непрерывные отображения отрезка [0;1] на себя. Докажите, что найдется точка х0 из такого отрезка, что выполнено: g(f(x0)) = f(g(x0)) задан 3 Ноя '15 18:52 
laminat |
|
Положим $%h(x)=f(g(x))-g(f(x))$%. Поскольку отображения $%f$% и $%g$% сюръективны, обе композиции также сюръективны. Следовательно, существуют такие точки $%x_1,x_2\in[0;1]$%, для которых $%f(g(x_1))=0$% и $%g(f(x_2))=0$%. Тогда $%h(x_1)=0-g(f(x_1))\le0$% и $%h(x_2)=f(g(x_2))-0\ge0$%. Ввиду непрерывности отображений, функция $%h$% также непрерывна, поэтому между $%x_1$% и $%x_2$% существует точка $%x_0$% такая, что $%h(x_0)=0$%. отвечен 3 Ноя '15 19:10 
falcao |