Планиметрия 11 класс

1) Пусть $%AL$% - биссектриса угла $%A$% ( точка $%L \in BC$% ). Центр 2-ой окружности ( т. $%O$% ) лежит на $%AL$%, и $%OD / AD = CL / AC$%. А отрезок $%CL$% можем найти из того, что "биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам". $%CL / LB = AC / AB$%, т.е. $%CL / LB = 8/ 10 = 4 / 5$%, т.е. $%CL = 4x$% и $%BL = 5x$%, и $%9x = 6$%, откуда $%x = 2/3$%. То есть $%CL = 8/3$%, и $%OD / AD = \frac{8/3}{8} = \frac{1}{3}$%, т.е. $%AD = 3\cdot OD$%
2) Пусть центр первой окружности - точка $%Q \in BC$%, и пусть радиусы окружностей $%r = 0,5$% и $%R$%. Рассматриваем трапецию $%CQOD$% и получаем, что $%CD^2 = ( R + r )^2 - ( R - r)^2 $%, т.е. $%CD^2 = 4Rr$%, т.е. $%CD = 2\sqrt{Rr}$%, а $%AD = 8 - 2\sqrt{Rr}$%. Учитывая, что $%AD = 3R$%, получаем уравнение $%8 - 2\sqrt{0,5r} = 3R$%, откуда получим $%R = 2$%