Дан прямоугольный треугольник с катетами ВС = 6, АС = 8 и окружность с центром на катете ВС радиуса 0,5 , касающаяся прямой АС.Окружность с центром в точке О касается гипотенузы АВ, касается катета АС в точке D и внешне касается окружности радиуса 0,5. Дока зать, что АD = 3∙ОD и найти радиус окружности

задан 6 Ноя '15 11:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Пусть $%AL$% - биссектриса угла $%A$% ( точка $%L \in BC$% ). Центр 2-ой окружности ( т. $%O$% ) лежит на $%AL$%, и $%OD / AD = CL / AC$%. А отрезок $%CL$% можем найти из того, что "биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам". $%CL / LB = AC / AB$%, т.е. $%CL / LB = 8/ 10 = 4 / 5$%, т.е. $%CL = 4x$% и $%BL = 5x$%, и $%9x = 6$%, откуда $%x = 2/3$%. То есть $%CL = 8/3$%, и $%OD / AD = \frac{8/3}{8} = \frac{1}{3}$%, т.е. $%AD = 3\cdot OD$%
2) Пусть центр первой окружности - точка $%Q \in BC$%, и пусть радиусы окружностей $%r = 0,5$% и $%R$%. Рассматриваем трапецию $%CQOD$% и получаем, что $%CD^2 = ( R + r )^2 - ( R - r)^2 $%, т.е. $%CD^2 = 4Rr$%, т.е. $%CD = 2\sqrt{Rr}$%, а $%AD = 8 - 2\sqrt{Rr}$%. Учитывая, что $%AD = 3R$%, получаем уравнение $%8 - 2\sqrt{0,5r} = 3R$%, откуда получим $%R = 2$%

ссылка

отвечен 6 Ноя '15 15:29

изменен 6 Ноя '15 15:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×642

задан
6 Ноя '15 11:35

показан
735 раз

обновлен
6 Ноя '15 15:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru