(x+y)^7-x^7-y^7. Что-то не получается. Помогите

задан 6 Ноя '15 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Хочу предложить странный на первый взгляд метод: обозначить z=-x-y. Тогда z+x+y=0, а это значит, что любая сумма $%x^n+y^n+z^n$% выражается через два симметрических многочлена от трех переменных - $%xyz$% и $%xy+xz+yz$%. Выразите эту сумму для $%n=7$%, это делается тривиально и последовательно, начиная с $%n=2$%.

Если $%B=xy+yz+xz$% и $%C=xyz$%, то $%x^2+y^2+z^2=-2B$%, $%x^3+y^3+z^3=3C$%, $%x^4+y^4+z^4=2B*B$%, $%x^5+y^5+z^5=-5BC$%, $%x^7+y^7+z^7=(5BC)B+(2B^2)C=7B^2C$%.

ссылка

отвечен 6 Ноя '15 17:54

изменен 6 Ноя '15 18:32

@knop, пока не совсем понятно, там вроде суммы получаются

(6 Ноя '15 18:13) epimkin

@epimkin, какие суммы? $%x^{n+3}+y^{n+3}+z^{n+3}= (x^{n+2}+y^{n+2}+z^{n+2})(x+y+z)-(x^{n+1}+y^{n+1}+z^{n+1})(xy+yz+zx)+(x^{n}+y^{n}+z^{n})xyz$%

(6 Ноя '15 18:22) knop

@knop, теперь все понятно, спасибо. Только один вопрос: вот эта формула, где много n, она откуда? Известна? Вопрос-то школьный был, навряд ли там это кто знает. Но для себя запомню

(6 Ноя '15 19:22) epimkin

@epimkin, я точно не знаю ответа на вопрос "откуда". Но, в общем, если раскрыть в ней скобочки, то всё посокращается.

А школьный способ вообще вряд ли использует введение третьей переменной. Там просто нужен бином Ньютона, ну и, может быть, угадать, чему равен $%(x^2+xy+y^2)^2$%.

(6 Ноя '15 19:30) knop

@knop, а где можно увидеть вывод ее?

(6 Ноя '15 19:42) epimkin
1

@epimkin: мне кажется, по-школьному надо всё делать через бином. Там сразу отделяется 7xy, до x+y тоже легко догадаться, а дальше останется многочлен 4-й степени, в котором надо увидеть квадрат. Если не совсем по-школьному, то можно всё выразить через x+y и xy, что для симметрических многочленов всегда возможно.

(7 Ноя '15 2:35) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×18

задан
6 Ноя '15 17:48

показан
749 раз

обновлен
7 Ноя '15 2:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru