Хорошо известно, что 3²+4²=5². Менее известно, что 10²+11²+12²=13²+14². А существует ли 2015 последовательно натуральных чисел, таких что сумма квадратов первых 1008 из них равна сумме квадратов последних 1007?

задан 6 Ноя '15 20:16

Наверное лучше обобщить задачу. $$x^2+(x+1)^2+...+(x+m)^2=y^2+(y+1)^2+...+(y+n)^2$$ Чтоб не решать для каждого отдельного случая.

(7 Ноя '15 9:22) Individ
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$(2n^2+n)^2+...+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2+...+(2n^2+3n)^2.$$ Этот ответ получается из уравнения $$(x+1)^2+...+(x+n+1)^2=(x+n+2)^2+...+(x+2n+1)^2,$$ которое легко решается с использованием формулы $$1^2+2^2+...+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1).$$

ссылка

отвечен 6 Ноя '15 20:40

изменен 6 Ноя '15 20:43

А можно более подробное решение? Я не понимаю как вы пришли к подобному уравнению. Если не сложно, объясните мне пожалуйста.

(6 Ноя '15 21:05) Lupus

@Culprit: Уравнение $$(x+1)^2+...+(x+n+1)^2=(x+n+2)^2+...+(x+2n+1)^2$$ и есть алгебраическая запись условия задачи.

(6 Ноя '15 21:11) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: здесь идея в том, что если мы суммируем квадраты от $%k^2$% до $%m^2$%, то это будет $%S_m-S_{k-1}$%, где $%S_n$% есть сумма квадратов первых $%n$% чисел. А для этого дела приведена формула.

(7 Ноя '15 2:22) falcao

@EdwardTurJ: я свой комментарий ошибочно адресовал Вам. Прошу прощения: имелся в виду автор вопроса.

(7 Ноя '15 9:47) falcao

@EdwardTurJ: пробовал решать уравнение, которое Вы записали. Честно раскрыл все скобки и у меня получилось: $%12n^2x-3x^2-11x+12n^3+18n^2+2x^3+16n^3-6=0.$% Как действовать дальше, чтобы прийти к тому ответу, который получился у Вас?

(11 Ноя '15 8:53) panov artem
1

@panov artem: там если сосчитать правильно, должно получиться уравнение, которое разложимо на множители. Чтобы проверить правильность вычислений, можно протестировать случаи n=1, n=2, где ответ уже известен.

(11 Ноя '15 9:50) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,421
×306
×126
×100

задан
6 Ноя '15 20:16

показан
930 раз

обновлен
11 Ноя '15 9:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru