|
Хорошо известно, что 3²+4²=5². Менее известно, что 10²+11²+12²=13²+14². А существует ли 2015 последовательно натуральных чисел, таких что сумма квадратов первых 1008 из них равна сумме квадратов последних 1007? задан 6 Ноя '15 20:16 
Lupus |
|
$$(2n^2+n)^2+...+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2+...+(2n^2+3n)^2.$$ Этот ответ получается из уравнения $$(x+1)^2+...+(x+n+1)^2=(x+n+2)^2+...+(x+2n+1)^2,$$ которое легко решается с использованием формулы $$1^2+2^2+...+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1).$$ отвечен 6 Ноя '15 20:40 
EdwardTurJ А можно более подробное решение? Я не понимаю как вы пришли к подобному уравнению. Если не сложно, объясните мне пожалуйста.
(6 Ноя '15 21:05)
Lupus
@Culprit: Уравнение $$(x+1)^2+...+(x+n+1)^2=(x+n+2)^2+...+(x+2n+1)^2$$ и есть алгебраическая запись условия задачи.
(6 Ноя '15 21:11)
EdwardTurJ
1
@EdwardTurJ: здесь идея в том, что если мы суммируем квадраты от $%k^2$% до $%m^2$%, то это будет $%S_m-S_{k-1}$%, где $%S_n$% есть сумма квадратов первых $%n$% чисел. А для этого дела приведена формула.
(7 Ноя '15 2:22)
falcao
@EdwardTurJ: я свой комментарий ошибочно адресовал Вам. Прошу прощения: имелся в виду автор вопроса.
(7 Ноя '15 9:47)
falcao
@EdwardTurJ: пробовал решать уравнение, которое Вы записали. Честно раскрыл все скобки и у меня получилось: $%12n^2x-3x^2-11x+12n^3+18n^2+2x^3+16n^3-6=0.$% Как действовать дальше, чтобы прийти к тому ответу, который получился у Вас?
(11 Ноя '15 8:53)
panov artem
1
@panov artem: там если сосчитать правильно, должно получиться уравнение, которое разложимо на множители. Чтобы проверить правильность вычислений, можно протестировать случаи n=1, n=2, где ответ уже известен.
(11 Ноя '15 9:50)
falcao
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Наверное лучше обобщить задачу. $$x^2+(x+1)^2+...+(x+m)^2=y^2+(y+1)^2+...+(y+n)^2$$ Чтоб не решать для каждого отдельного случая.