0
1

Доказать, что:

Условие

задан 7 Ноя '15 19:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

Известно, что $%\frac{a^x-1}x\to\ln a$% при $%x\to0$% (производная показательной функции в нуле; при $%a=1$% это также очевидно). Отсюда $%a^x=1+x\ln a+o(x)$% при $%x\to0$%. В частности, $%\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}2=1+\frac1n(\frac{\ln a+\ln b}2)+o(\frac1n)=1+\frac1n\ln\sqrt{ab}+o(\frac1n)$% при $%n\to\infty$%.

Логарифм последовательности из условия равен $%n\ln(\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}2)=n\ln(1+\frac1n\ln\sqrt{ab}+o(\frac1n))$%. Ввиду того, что величина, прибавляемая к единице, стремится к нулю, и $%\ln(1+t)=t+o(t)$% при $%t\to0$%, имеем далее $%n(\frac1n\ln\sqrt{ab}+o(\frac1n))=\ln\sqrt{ab}+o(1)$%, то есть предел логарифма последовательности равен $%\ln\sqrt{ab}$%. Следовательно, предел последовательности равен $%\sqrt{ab}$%, ч.т.д.

ссылка

отвечен 7 Ноя '15 20:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×691
×294

задан
7 Ноя '15 19:38

показан
410 раз

обновлен
7 Ноя '15 20:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru