пределы - Предел числовой последовательности

Известно, что $%\frac{a^x-1}x\to\ln a$% при $%x\to0$% (производная показательной функции в нуле; при $%a=1$% это также очевидно). Отсюда $%a^x=1+x\ln a+o(x)$% при $%x\to0$%. В частности, $%\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}2=1+\frac1n(\frac{\ln a+\ln b}2)+o(\frac1n)=1+\frac1n\ln\sqrt{ab}+o(\frac1n)$% при $%n\to\infty$%.

Логарифм последовательности из условия равен $%n\ln(\frac{a^{1/n}+b^{1/n}}2)=n\ln(1+\frac1n\ln\sqrt{ab}+o(\frac1n))$%. Ввиду того, что величина, прибавляемая к единице, стремится к нулю, и $%\ln(1+t)=t+o(t)$% при $%t\to0$%, имеем далее $%n(\frac1n\ln\sqrt{ab}+o(\frac1n))=\ln\sqrt{ab}+o(1)$%, то есть предел логарифма последовательности равен $%\ln\sqrt{ab}$%. Следовательно, предел последовательности равен $%\sqrt{ab}$%, ч.т.д.