Хорошо известно, что 3²+4²=5². Менее известно, что 10²+11²+12²=13²+14². А существует ли 2015 последовательно натуральных чисел, таких что сумма квадратов первых 1008 из них равна сумме квадратов последних 1007?

задан 8 Ноя '15 17:10

Задача обсуждалась в этой теме math.hashcode.ru/questions/79040/

(8 Ноя '15 17:57) marcin63
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Повтор вопроса". Закрывший - falcao 8 Ноя '15 18:21

2

Сначала выпишем формулу для суммы квадратов первых $%n$% натуральных чисел. Она считается следующим образом: видя, что $%n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,$% находим $%n^3=\sum\limits_{k=1}^n (3k^2-3k+1),\,n^3-n=\sum\limits_{k=1}^n(3k^2-3k),\,n^3+\dfrac32(n^2+n)-n=\sum\limits_{k=1}^n3k^2,\\ \dfrac{2n^3+3n^2+n}{6}=\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=S(n).$%

Теперь сравним $%S(2n^2-2n)-S(2n^2-3n)$% и $%S(2n^2-n-1)-S(2n^2-2n).$% Первая величины равна сумме квадратов от $%2n^2-3n+1$% до $%2n^2-2n$% (всего $%n$% квадратов), вторая - сумме квадратов от $%2n^2-2n+1$% до $%2n^2-n-1$% (всего $%n-1$% квадратов).

Первая равна $%\dfrac{24n^5-60n^4+50n^3-15n^2+n}{6},$% а вторая - $%\dfrac{24n^5-36n^4+26n^3-9n^2+n}{6}-4n^4+4n^3-n^2=\dfrac{24n^5-60n^4+50n^3-15n^2-n}{6}.$% Значит, они равны.

Значит, для любого $%n$% найдутся такие $%n$% последовательных квадратов, что они будут равны в сумме следующим за ними $%n-1$% квадратам. Для этого надо взять квадраты чисел от $%2n^2-3n+1$% до $%2n^2-2n$% - они будут равны сумме квадратов от $%2n^2-2n+1$% до $%2n^2-n-1.$%

ссылка

отвечен 8 Ноя '15 17:55

10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×294
×95
×40

задан
8 Ноя '15 17:10

показан
619 раз

обновлен
8 Ноя '15 17:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru