Условие

задан 8 Ноя '15 17:12

Если в двух словах, то доказательство таково: Если она не будет монотонной на отрезке, то обратная функция не будет однозначной.

(8 Ноя '15 18:52) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
2

У меня какое-то время назад был написан ответ, но в тот момент сайт "зависал", и текст оказался утерян. Изложу снова, но кратко. Основной здесь является теорема о промежуточном значении для непрерывной функции.

Итак, пусть $%f(x)$% задана на $%[a,b]$% и удовлетворяет условию. Поскольку у функции есть обратная, её значения в разных точках не повторяются. Без ограничения общности можно считать, что $%f(a) < f(b)$%, доказывая возрастание, так как случай $%f(a) > f(b)$% сводится к этому посредством замены $%f$% на $%-f$%.

Для начала проверим, что для любого $%x\in(a,b)$% имеют место неравенства $%f(a) < f(x) < f(b)$%. Допустим, что нарушается первое из них. Тогда $%f(a) > f(x)$% (равенство, как мы отмечали, невозможно). Рассмотрим отрезок $%[x,b]$%. Значение функции на левом конце меньше $%f(a)$%, а на правом оно больше $%f(a)$%. Тогда на этом отрезке функция ещё раз примет промежуточное значение $%f(a)$%. Аналогично доказывается, что неравенство $%f(x) < f(b)$% нарушаться не может.

Теперь докажем, что из $%x_1 < x_2$% следует $%f(x_1) < f(x_2)$% для любых точек отрезка. Рассуждая от противного, предполагаем, что $%f(x_1) > f(x_2)$%. Ввиду того, что $%f(x_2) > f(a)$%, по той же теореме о промежуточном значении получается, что на одном конце отрезка $%[a,x_1]$% значение функции меньше, чем $%f(x_2)$%, а на другом оно больше. Тогда значение $%f(x_2)$% принимается между $%a$% и $%x_1$%, что снова приводит к повторению значений.

ссылка

отвечен 12 Ноя '15 10:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×651
×126

задан
8 Ноя '15 17:12

показан
834 раза

обновлен
12 Ноя '15 10:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru