обозначим a=(134), b=(246). Как-то сложно всё получается, так как порядок элемента a = 3, а порядок элемента ab = 5, то есть уже как миниму 15 элементов в группе, и это не всё, есть ли какой-нибудь простой способ вычислить порядок? может возможно установить изоморфизм между данной группой и уже заранее известной группой?

задан 10 Ноя '15 22:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего, символ 5 здесь отсутствует, поэтому можно считать, что $%a$% и $%b$% порождают подгруппу в $%S_5$%. Выше было отмечено, что обе подстановки чётные. Поэтому порождённая ими подгруппа содержится в $%A_5$%. Вы заметили, что $%ab=(134)(246)=(13624)$% есть цикл порядка 5.

Уже после этого можно сделать вывод, что обе подстановки порождают всю группу $%A_5$%, если привлечь несколько "сильных" фактов. А именно, у нас уже есть подгруппа порядка 15, и всё содержится в подгруппе порядка 60. Значит, кроме 60 может быть или 15, или 30. Первый вариант отвергается на том основании, что всякая группа порядка 15 циклическая, а у нас группа неабелева ($%ab\ne ba$%). Второй вариант невозможен потому, что подгруппа из 30 элементов имеет в $%A_5$% индекс 2. Тогда она нормальна в $%A_5$%, чего быть не может, так как группа $%A_5$% проста.

Конечно, на эти сложные факты ссылаться не надо, но коль скоро это верно, имеет смысл поискать элемент, являющийся произведением двух транспозиций. Это сделать несложно, рассмотрев элемент $%abab^{-1}=(134)(246)(134)(264)=(12)(34)$%. Теперь мы знаем, что наша подгруппа имеет порядок как минимум 30. Если не ссылаться на простоту знакопеременной группы, то можно поискать ещё один элемент такого же типа, и тогда можно прийти к равенству $%bab^{-1}a=(246)(134)(264)(134)=(14)(23)$%. Осталось заметить, что произведением элементов $%(12)(34)$% и $%(14)(23)$% будет $%(13)(24)$%, и вместе с тождественной подстановкой эти элементы образуют подгруппу порядка 4. Теперь уже точно можно сказать, что порядок подгруппы делится на $%3\cdot4\cdot5=60$%, то есть мы имеем группу порядка 60, изоморфную $%A_5$%.

ссылка

отвечен 11 Ноя '15 1:13

@falcao, Вы гений!

(12 Ноя '15 0:39) chad-ch
10|600 символов нужно символов осталось
1

Две случайные перестановки из $%S_n$% порождают с вероятностью $%3/4$% группу $%S_n$%, а с вероятностью $%1/4$% группу $%A_n$%. Попробуйте понадеятся на это и доказать это. Ищите как можно больше элементов группы. Легко вычисляются сопряженные элементы. Например, уже $%b^{-1}ab=(132)$%. Замечу сразу, что у Вас перестановки четные.

См. также https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0

ссылка

отвечен 10 Ноя '15 22:24

изменен 10 Ноя '15 22:37

круто чё, посчитаю, ерунда)

(10 Ноя '15 23:06) chad-ch
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×864
×702

задан
10 Ноя '15 22:04

показан
522 раза

обновлен
12 Ноя '15 0:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru