На плоскости проведены n окружностей так, что любые две из них пересекаются в паре точек, и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей делят плоскость эти окружности?

задан 10 Ноя '15 22:16

$$n^2-n+2.$$

(10 Ноя '15 23:43) EdwardTurJ

а доказывать формулу получается надо по индукции?

(11 Ноя '15 0:19) NataliaIvanova

@NataliaIvanova: да, по индукции. Надо смотреть на то, сколько частей разрезает очередная окружность. Именно столько новых частей добавляется. С прямыми -- аналогично.

У нас эти задачи были в учебнике 9-го класса "Алгебра и начала анализа" -- в том параграфе, где изучался метод математической индукции. Хорошие, кстати, учебники были "колмогоровские", но потом школьную программу сильно ухудшили.

(11 Ноя '15 0:34) falcao

Я как раз таки сейчас по колмогоровскому учебнику и занимаюсь. Эти задачи оттуда. Я вот только не понимаю как увеличивается кол-во частей плоскости при добавлении одной окружности. Надо же доказать , что при добавление к+1-ой окружности кол-во частей увеличивается на к^2+к+2. Только как это доказать?

(11 Ноя '15 15:03) NataliaIvanova
1

@NataliaIvanova: это очень хорошо, что по колмогоровскому!

Число частей при добавлении (k+1)-й окружности увеличивается на 2k, потому что она пересекается в двух точках с каждой из k окружностей. Получается 2k дуг. Именно столько новых частей добавляется: дуга разрезает одну старую часть на две новых. Этот момент основной, а остальное тривиально: было $%k^2-k+2$% по предположению, добавили $%2k$%, стало $%k^2+k+2=(k+1)k+2=(k+1)^2-(k+1)+2$%.

(11 Ноя '15 17:52) falcao

все теперь поняла, спасибо

(11 Ноя '15 18:22) NataliaIvanova
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,551
×637
×68

задан
10 Ноя '15 22:16

показан
1131 раз

обновлен
11 Ноя '15 18:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru