геометрия - На сколько частей делится плоскость -II

$$n^2-n+2.$$

а доказывать формулу получается надо по индукции?

@NataliaIvanova: да, по индукции. Надо смотреть на то, сколько частей разрезает очередная окружность. Именно столько новых частей добавляется. С прямыми -- аналогично.

У нас эти задачи были в учебнике 9-го класса "Алгебра и начала анализа" -- в том параграфе, где изучался метод математической индукции. Хорошие, кстати, учебники были "колмогоровские", но потом школьную программу сильно ухудшили.

Я как раз таки сейчас по колмогоровскому учебнику и занимаюсь. Эти задачи оттуда. Я вот только не понимаю как увеличивается кол-во частей плоскости при добавлении одной окружности. Надо же доказать , что при добавление к+1-ой окружности кол-во частей увеличивается на к^2+к+2. Только как это доказать?

@NataliaIvanova: это очень хорошо, что по колмогоровскому!

Число частей при добавлении (k+1)-й окружности увеличивается на 2k, потому что она пересекается в двух точках с каждой из k окружностей. Получается 2k дуг. Именно столько новых частей добавляется: дуга разрезает одну старую часть на две новых. Этот момент основной, а остальное тривиально: было $%k^2-k+2$% по предположению, добавили $%2k$%, стало $%k^2+k+2=(k+1)k+2=(k+1)^2-(k+1)+2$%.