Как доказать, что последовательность $$a_{n}^{}=(1+1/n)^{n+1}$$ убывает монотонно. Вроде надо показать, что $%a_{n+1}-a_{n}<0$% при любых $%n$%. Получается какая-то муть.

задан 13 Сен '12 23:24

изменен 16 Сен '12 23:01

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

А причем тут ряды (см. заголовок)? Эта последовательность используется для исследования числа e: она сходится к e сверху.

(14 Сен '12 1:18) DocentI

Полностью согласен.

(14 Сен '12 1:46) milib
10|600 символов нужно символов осталось
2

Не обязательно доказывать убывание через разность. Для степеней лучше взять отношение: $%a_{n+1} < a_n$% равносильно тому, что $%\frac{a_{n}}{a_{n+1}} > 1$%. После преобразований это соотношение принимает вид $%\frac{(n+1)^{2n+3}}{n^{n+1}(n+2)^{n+2}} > 1$%. Выделим в левой части n +1 -ые степени, остальное перенесем направо. Получим $%\big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\big)^{n+1}>\frac{n+2}{n+1}$%. Выражение в больших скобках можно переписать в виде $%1+\frac{1}{n(n+2)}$%. Воспользуемся неравенством $%(1 + x)^n > 1 + nx$%, получим, что $%\big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\big)^{n+1}>1 + \frac{n+1}{n(n+2)}$%. Лекго показать, что $%\frac{n+1}{n(n+2)} > \frac{1}{n+1}$%

ссылка

отвечен 14 Сен '12 0:35

Большое спасибо! Действительно, через деление совсем другое дело.

(14 Сен '12 0:51) milib
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×524
×213

задан
13 Сен '12 23:24

показан
701 раз

обновлен
16 Сен '12 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru