|
Как доказать, что последовательность $$a_{n}^{}=(1+1/n)^{n+1}$$ убывает монотонно. Вроде надо показать, что $%a_{n+1}-a_{n}<0$% при любых $%n$%. Получается какая-то муть. задан 13 Сен '12 23:24 
milib |
|
Не обязательно доказывать убывание через разность. Для степеней лучше взять отношение: $%a_{n+1} < a_n$% равносильно тому, что $%\frac{a_{n}}{a_{n+1}} > 1$%. После преобразований это соотношение принимает вид $%\frac{(n+1)^{2n+3}}{n^{n+1}(n+2)^{n+2}} > 1$%. Выделим в левой части n +1 -ые степени, остальное перенесем направо. Получим $%\big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\big)^{n+1}>\frac{n+2}{n+1}$%. Выражение в больших скобках можно переписать в виде $%1+\frac{1}{n(n+2)}$%. Воспользуемся неравенством $%(1 + x)^n > 1 + nx$%, получим, что $%\big(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\big)^{n+1}>1 + \frac{n+1}{n(n+2)}$%. Лекго показать, что $%\frac{n+1}{n(n+2)} > \frac{1}{n+1}$% отвечен 14 Сен '12 0:35 
DocentI Большое спасибо! Действительно, через деление совсем другое дело.
(14 Сен '12 0:51)
milib
|
А причем тут ряды (см. заголовок)? Эта последовательность используется для исследования числа e: она сходится к e сверху.
Полностью согласен.