Я вычисляю число pi с точностью до 6 знаков после запятой по формуле Гаусса: pi/4 = 12 * arctg(1/18) + 8arctg(1/57) - 5arctg(1/239) arctg раскладываю в ряд до 5 порядка: x - x^3/3 + x^5/5. Программно я получаю нужную точность. Как можно формально доказать, что при таком разложении и при использовании такой формулы для вычисления, я действительно получаю точность до 6 порядка или даже лучше?

задан 14 Ноя '15 16:49

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\delta(x)=f(x)-\arctan x=(x-x^3/3+x^5/5)-\arctan x=x^7/7-x^9/9+\cdots$% -- разность приближённого значения арктангенса и самого арктангенса. При $%x\in(0;1)$% имеем знакочередующийся ряд с монотонно стремящимися к нулю членами. Отсюда следуют неравенства $%0 < \delta(x) < x^7/7$%.

Приближённое значение $%\pi$% вычисляется здесь по формуле $%48f(1/18)+32f(1/57)-20f(1/239)$%. Разность приближённого и точного значения равна $%48\delta(1/18)+32\delta(1/57)-20\delta(1/239)$%. Оценка снизу составляет $%-\frac{20}{7\cdot239^7}$%; это очень маленькая по модулю величина. Оценка сверху составляет $%\frac{48}{7\cdot18^7}+\frac{32}{7\cdot57^7}$%. На калькуляторе можно увидеть, что эта величина меньше $%1.2\cdot10^{-7}$%, что показывает, что требуемая точность обеспечена.

ссылка

отвечен 14 Ноя '15 19:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×835
×29

задан
14 Ноя '15 16:49

показан
787 раз

обновлен
14 Ноя '15 19:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru