(1 + a) ^ n < 1 + na + (n ^ 2)(a ^ 2), при этом 0 < a <= (1 / n)

задан 15 Ноя '15 20:41

изменен 15 Ноя '15 20:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь всё доказывается напрямую. При $%n=1$% неравенство очевидно. Предположим, что $%(1+a)^n < 1+na+n^2a^2$% для всех $%a\in(0;\frac1n]$%. Возьмём теперь число $%a\in(0;\frac1{n+1}]$%. Предыдущему промежутку оно принадлежит, поэтому предположение индукции для него применимо. Тогда $%(1+a)^{n+1}=(1+a)^n(1+a) < (1+na+n^2a^2)(1+a)=1+na+n^2a^2+a+na^2+n^2a^3$%, что равно $%1+(n+1)a+a^2(n^2+n+n^2a)$%. Здесь достаточно даже более слабого неравенства $%a\le\frac1n$%, которое было справедливо на предыдущем шаге (и тем более справедливо теперь), из которого следует, что выражение в скобках не больше $%n^2+2n < (n+1)^2$%. Всё вместе даёт $%(1+a)^{n+1} < 1+(n+1)a+(n+1)^2a^2$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 15 Ноя '15 21:50

Действительно, всё проще чем думал. Большое вам спасибо!

(16 Ноя '15 3:28) David
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,794
×1,952
×85

задан
15 Ноя '15 20:41

показан
436 раз

обновлен
16 Ноя '15 3:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru