$%x²y'+xy+1=0$%, ответ должен быть $%y=-(lnx)/x$%.

задан 8 Янв '12 20:40

изменен 8 Янв '12 20:47

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Меня обогнали, пока заполнял формулы. Решение по сравнению с предыдущим некрасивое, но за него получишь рейтинг у преподавателя. А за короткое решение можешь получить только дополнительный вопрос за умное решение. А оно Вам надо? За Вами выбор, чье решение взять за основу. Тем более дополнительный вопрос как раз будет в тему моего решения. Итак, имеем линейное уравнение $$x^2y′+xy=-1$$ . Замена $$y=uv$$ приводит к уравнению $$x^2(u′v+uv′)+xuv=-1$$ . Сгруппируем $$x^2u′v+xu(xv′+v)=-1$$ . Чтобы упростить запись этого уравнения, находим функцию v=v(x) ( только одну) из расчета, что выражение в скобках равно нулю,т.е. $$xv′+v=0$$ . Решаем $$lnv=-lnx \Rightarrow v=\frac {1} {x}$$ . Продолжаем решать. Возвращаемся к уравнению $$x^2u′v+xu(xv′+v)=-1$$ . Отсюда $$x^2u'v=-1$$ Подставим $$v=\frac {1} {x}$$ и получим $$x^2u′\frac {1} {x}=-1$$ $$u'=-\frac {1} {x}$$ Находим общее решение $$u=-ln|x|+C$$ . Затем пишем общее решение $$y=y(x,C)$$ , применяя y=uv. $$y=\frac {-ln|x|+C} {x}$$Удачи.

ссылка

отвечен 8 Янв '12 21:08

изменен 8 Янв '12 21:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку

$$x^2y'+xy+1=0 \Longleftrightarrow x(xy'+y)=-1 \Longleftrightarrow x(xy)'=-1$$

Получаем

$$\int dxy = -\int \frac{dx}{x}$$

Откуда легко находится искомый ответ.

ссылка

отвечен 8 Янв '12 20:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×825

задан
8 Янв '12 20:40

показан
1519 раз

обновлен
8 Янв '12 21:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru