математический-анализ - Правильно ли доказываю равенство?

Здесь нужно производить оценки сумм логарифмов и тому подобных вещей. Прежде всего, если рассмотреть сумму $%\ln 1+\ln 2+\cdots+\ln n$%, то она эквивалентна интегралу $%\int_1^n\ln x\,dx=n\ln n-n$%.

После преобразований числителя должна была получиться сумма $%\sum\limits_{k=2}^n(2k-n-1)\ln k=2\sum\limits_{k=2}^nk\ln k-(n-1)\sum\limits_{k=2}^n\ln k$%. Это значит, что нам нужно оценить ещё и сумму $%\sum\limits_{k=2}^nk\ln k$%, что также делается при помощи интеграла $%I=\int x\ln x\,dx=\int(x\ln x-x)\,dx+\int x\,dx=x(x\ln x-x)-\int x\,d(x\ln x-x)+x^2/2$%, то есть $%I=x^2\ln x-x^2/2-\int x\ln x\,dx=x^2\ln x-x^2/2-I$%, откуда $%I=\frac12x^2\ln x-\frac14x^2+C$%.

Из тех же соображений, что и выше, сумма эквивалентна интегралу: $%\sum\limits_{k=2}^nk\ln k\sim\frac12n^2\ln n-\frac14n^2$%. Собирая всё вместе, получаем $%2\sum\limits_{k=2}^nk\ln k-(n-1)\sum\limits_{k=2}^n\ln k\sim n^2\ln n-\frac12n^2-(n-1)(n\ln n-n)$%, что упрощается до $%n^2/2+n\ln n-n$%.

Теперь делим на $%n^2$% (это равноценно делению на $%n^2+1$% и переходим к пределу, получая $%\frac12$%.