$%X=C[0,1]$%

$%x_n(t)=t^n-t^{n+1}$%

исследовать $%\{x_n\}^{inf}_{n=1}$% на сходимость.

По определению: последовательность сходится к точке $%x$% в метрическом пространстве, если $%p(x_n,x) -> 0$% при $% n -> inf$%

В чем отличие между тем способом поиска по критерию Коши?

задан 16 Ноя '15 18:25

изменен 16 Ноя '15 18:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для метрических пространств не всегда действует критерий Коши -- в отличие от того, что имеет место в случае действительной прямой, а также в $%\mathbb R^n$%. В общем случае, фундаментальная последовательность может не сходиться. Если всякая такая последовательность сходится, то метрическое пространство называется полным. Прямая, а также $%\mathbb R^n$% -- примеры полных пространств.

Говоря о метрических пространствах, надо в каждом случае указывать не только множество, но и задавать саму метрику пространства. Она может быть разной для одного и того же пространства. В данном случае Вы её не указали, хотя это следовало сделать, так как с $%C[0;1]$% можно связывать разные метрики. Поэтому я рассмотрю наиболее "популярную" из них, основанную на норме равномерной сходимости. А именно, пусть $%\|f\|=\max\limits_{t\in[0;1]}|f(t)|$%, и далее $%\rho(f,g)=\|f-g\|$%. Свойства метрики здесь легко проверяются.

У Вас в заголовке написано про ряд, но я сразу этого не заметил, и стал писать про сходимость последовательности (в тексте вопроса речь именно о ней). Хотя это совсем другой вопрос, но текст у меня уже был почти написан, поэтому я его оставлю как "побочный продукт". Если интересно -- прочитайте. Если нет, то пропустите. То есть, на самом деле здесь надо исследовать на сходимость не $%x_n$%, а $%\sum_{n=1}^{\infty}x_n$%, и это совсем другая задача. Но сначала -- о сходимости самой последовательности.

Если имеет место сходимость в метрике пространства к некоторой функции, то она имеет место поточечно, то есть в каждой точке $%t$%. Легко видеть, что при $%t < 1$% имеет место сходимость $%t^n\to0$%, а при $%t=1$% получается $%t^n\to1$%. Поэтому $%x_n(t)=t^n-t^{n+1}\to0$% при каждом $%t$%.

Поточечная сходимость к нулю имеет место, и теперь остаётся проверить, будет ли она равномерной, то есть верно ли, что $%\rho(x_n,x)\to0$% при $%n\to\infty$%, где $%x=0$%. Это равносильно условию $%\|x_n\|\to0$%. Для того, чтобы его проверить, нужно найти норму функции $%x_n(t)$%, то есть максимум её модуля на отрезке. Ввиду того, что $%x_n(t)=t^n(1-t)\ge0$%, знак модуля можно отбросить.

Возникает задача нахождения наибольшего значения функции на отрезке, которая решается при помощи производной. В данном случае $%x_n'(t)=nt^{n-1}-(n+1)t^n=0$% в точке $%t=\frac{n}{n+1}$%. Поскольку на концах отрезка функция обращается в ноль, случай $%t=0$% можно не рассматривать.

Понятно, что наибольшее значение функции достигается в указанной критической точке, и оно равно $%x_n(\frac{n}{n+1})=(\frac{n}{n+1})^n\cdot\frac1{n+1}$%. Это и есть норма функции $%x_n$%, то есть расстояние от неё до нулевой функции.

С учётом второго замечательного предела, первый сомножитель $%(\frac{n}{n+1})^n$% стремится к $%1/e$%. Второй сомножитель $%\frac1{n+1}$% стремится к нулю. Поэтому норма функции также стремится к нулю, и $%\rho(x_n,0)\to0$% при $%n\to\infty$%.

Теперь перейдём к вопросу о сходимости ряда. Как мы сейчас увидим, ряд здесь сходится (поточечно), но к разрывной функции. Поэтому в рамках $%C[0;1]$% этот ряд нельзя назвать сходящимся.

Рассмотрим $%n$%-ую частичную сумму ряда: $%S_n=x_1+\cdots+x_n=t-t^{n+1}$%. Как и выше, если она имеет предел в виде функции, то она сходится поточечно. При $%t < 1$% предел равен $%t$%. При $%t=1$% предел равен нулю. Поэтому ряд сходится к разрывной функции $%x(t)$%, которая при $%t\in[0;1)$% равна $%t$%, а при $%t=1$% она равна нулю. По этой причине, никакая функция из $%C[0;1]$% не является суммой данного ряда, то есть в этом метрическом пространстве он не является сходящимся.

ссылка

отвечен 17 Ноя '15 3:48

изменен 17 Ноя '15 15:57

Я немного подправил текст. Там была одна ошибочная фраза (имея в виду одно, я сказал другое), которая, правда, на способ решения никак не влияла.

(17 Ноя '15 15:58) falcao

что обозначают двойные вертикальные скобки?

(17 Ноя '15 17:03) Ni55aN
1

@Ni55aN: это знак нормы. Содержательный смысл такой: нормой функции называется максимум её модуля на отрезке. Это то же самое, что расстояние от функции до нуля. А расстояние между двумя функциями есть норма их разности.

Вся эта терминология должна идти в комплекте с заданием метрики в C[0;1].

(17 Ноя '15 17:07) falcao

каким образом получили $%x_n(\frac{n}{n+1})=(\frac{n}{n+1})^n⋅\frac{1}{n+1}$% ?

(17 Ноя '15 17:27) Ni55aN

@Ni55aN: просто подставили конкретное t=n/(n+1) в общую формулу для x_n(t)=t^n-t^{n+1}=t^n(1-t).

(17 Ноя '15 17:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×303
×242

задан
16 Ноя '15 18:25

показан
2031 раз

обновлен
17 Ноя '15 17:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru