логика - Шахматные вопросы

Предположим, что каждая клетка шахматной доски моделируется упорядоченной парой $%\langle x, y \rangle$% декартового произведения $%\{ x| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \} \times \{ y| \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8 \}$%.

Вопрос 1: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "слоновой" диагонали.» равносильно высказыванию $$ \begin {cases} \{\langle x_1, y_1 \rangle, \ \langle x_2, y_2 \rangle\} \subseteq \{\langle x, y \rangle| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \ \wedge \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8\} \\ |x_1 - x_2| = |y_1 - y_2| \wedge x_1 \neq x_2 \wedge y_1 \neq y_2 \end {cases}?$$

Вопрос 2: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "ладейной" прямой.» равносильно высказыванию $$ \begin {cases} \{\langle x_1, y_1 \rangle, \ \langle x_2, y_2 \rangle\} \subseteq \{\langle x, y \rangle| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \ \wedge \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8\} \\ x_1 = x_2 \wedge y_1 \neq y_2 \ \vee \ x_1 \neq x_2 \wedge y_1 = y_2 \end {cases}?$$

Вопрос 3: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "ферзевой" прямой.» равносильно высказыванию $$ \begin {cases} \{\langle x_1, y_1 \rangle, \ \langle x_2, y_2 \rangle\} \subseteq \{\langle x, y \rangle| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \ \wedge \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8\} \\ \left [ \begin {aligned} |x_1 - x_2| = |y_1 - y_2| \wedge x_1 \neq x_2 \wedge y_1 \neq y_2 \\ x_1 = x_2 \wedge y_1 \neq y_2 \ \vee \ x_1 \neq x_2 \wedge y_1 = y_2 \end {aligned} \right. \end {cases}?$$

Вопрос 3.1: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "слоновой" диагонали.» подразумевает высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "ферзевой" прямой.»

Вопрос 3.2: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "ладейной" прямой.» подразумевает высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "ферзевой" прямой.»

Вопрос 4.1: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% имеют одинаковый цвет.» равносильно высказыванию $$ \begin {cases} \{\langle x_1, y_1 \rangle, \ \langle x_2, y_2 \rangle\} \subseteq \{\langle x, y \rangle| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \ \wedge \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8\} \\ |x_1 - x_2| - \lfloor \frac{|x_1 - x_2|}{2} \rfloor \cdot 2 = |y_1 - y_2| - \lfloor \frac{|y_1 - y_2|}{2} \rfloor \cdot 2 \end {cases}?$$

Примечание 1: $%x \in \mathbb{R} \rightarrow \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z}$%, и $%\lfloor x \rfloor$%равно ближайшему к $%x$% целому числу снизу (например: $%\lfloor 2.98 \rfloor = 2, \ \ \lfloor -2.02 \rfloor = -3$%).

Примечание 2.1: Выражение «$%|x_1 - x_2| - \lfloor \frac{|x_1 - x_2|}{2} \rfloor \cdot 2$%» - это остаток от деления $%|x_1 - x_2|$% на $%2$%.

Примечание 2.2: Выражение «$%|y_1 - y_2| - \lfloor \frac{|y_1 - y_2|}{2} \rfloor \cdot 2$%» - это остаток от деления $%|y_1 - y_2|$% на $%2$%.

Вопрос 4.1.1: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "слоновой" диагонали.» подразумевает высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% имеют одинаковый цвет.»

Вопрос 4.2: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% имеют разный цвет.» равносильно высказыванию $$ \begin {cases} \{\langle x_1, y_1 \rangle, \ \langle x_2, y_2 \rangle\} \subseteq \{\langle x, y \rangle| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \ \wedge \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8\} \\ |x_1 - x_2| - \lfloor \frac{|x_1 - x_2|}{2} \rfloor \cdot 2 \neq |y_1 - y_2| - \lfloor \frac{|y_1 - y_2|}{2} \rfloor \cdot 2 \end {cases}?$$

Вопрос 5: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "лошадиной" кривой.» равносильно высказыванию: $$ \begin {cases} \{\langle x_1, y_1 \rangle, \ \langle x_2, y_2 \rangle\} \subseteq \{\langle x, y \rangle| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \ \wedge \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8\} \\ |x_1 - x_2| = 1 \wedge |y_1 - y_2| = 2 \ \vee \ |x_1 - x_2| = 2 \wedge |y_1 - y_2| = 1 \end {cases}?$$

Вопрос 6: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "королевском" отрезке.» равносильно высказыванию $$ \begin {cases} \{\langle x_1, y_1 \rangle, \ \langle x_2, y_2 \rangle\} \subseteq \{\langle x, y \rangle| \ x \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq x \leq 8 \ \wedge \ y \in \mathbb{N} \wedge 1 \leq y \leq 8\} \\ \left [ \begin {aligned} |x_1 - x_2| = 0 \wedge |y_1 - y_2| = 1 \\ |x_1 - x_2| = 1 \wedge |y_1 - y_2| = 0 \\ |x_1 - x_2| = 1 \wedge |y_1 - y_2| = 1 \end {aligned} \right. \end {cases}?$$

Вопрос 6.1: Верно ли, что высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "королевском" отрезке.» подразумевает высказывание «Kлетки шахматной доски $%\langle x_1, y_1 \rangle$% и $%\langle x_2, y_2 \rangle$% лежат на "ферзевой" прямой.»