Как найти $%sup|Ax|, |x| = 1$%, при отображении $%A: R^2 -> R^2, (x_1,x_2) -> (y_1,y_2)$%. $%y_1 = 2x_1 - x_2$%;$%y_2 = x_1 + 3x_2$%?

Не до конца понимаю формулировку задания, а потому не знаю с чего начать, буду признателен, если кто-нибудь подскажет или за ссылку на решение чего-нибудь подобного.

задан 18 Сен '12 16:28

изменен 18 Сен '12 17:47

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

А какая норма подразумевается? Евклидова?

(18 Сен '12 20:16) DocentI

Это задание можно рассматривать просто как задачу на условный экстремум: найти максимум функции при условии, связывающем ее переменные. Но по смыслу этот конкретный максимум - норма линейного оператора A. Эта норма показывает максимальное растяжение, которое A оказывает на x. Это связано с собственными значениями матрицы.

(18 Сен '12 20:59) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если норма евклидова, то условие на x равносильно тому, что $%x_1^2+x_2^2=1$%. При этом условии надо найти максимум функции $%|Ax|^2 = (2x_1-x_2)^2+(x_1+3x_2)^2$%. Это задача на условный экстремум. Можно решать методом множителей Лагранжа.

ссылка

отвечен 18 Сен '12 20:21

спасибо, подходит под ту теорию, что нам давали..

(23 Сен '12 16:10) zhildemon
10|600 символов нужно символов осталось
1

Может быть так: $%|x|^2=x_1^2+x_2^2=1, |Ax|^2=(2x_1-x_2)^2+(x_1+3x_2)^2\rightarrow max.$%

ссылка

отвечен 18 Сен '12 20:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно и без множителей Лагранжа заменой $%x_1=sin(t), \;\;x_2=cos(t)$% и дальше - безусловный экстремум по $%t$% (приравнивание производной нулю).

ссылка

отвечен 19 Сен '12 0:52

Наверное, можно вообще без производной, через собственные значения. Но это теорию надо знать.

(19 Сен '12 8:36) DocentI

Не совсем понятно как найти максимум растяжения окружности через собственные значения матрицы преобразования.

(19 Сен '12 15:24) Андрей Юрьевич

Может, и нельзя - давно этим не занималась. Когда немного освобожусь - подумаю. Чисто интуитивно мне казалось, что норма оператора равна максимальному модулю собственных значений - но не уверна. Могу и соврать...

Кстати, в этом примере "нехорошие" корни.

(19 Сен '12 17:35) DocentI
1

Ну да, можно. Линейно деформированная окружность - это эллипс. Нужно просто найти его большую полуось. Нужно представить преобразование в виде суперпозиции "чистого" растяжения и поворота, т.е. разложить матрицу преобразования в произведение двух соответствующих матриц.

(19 Сен '12 22:11) Андрей Юрьевич

На самом деле, экстремальные направления будут действительно собственными направлениями, но только не для исходной матрицы, а для матрицы квадратичной формы, которой является $%|Ax|^2$%.

Соответственно, коэффициенты растяжения по этим направлениям будут корнями из соответствующих собственных значений.

(21 Сен '12 9:29) DocentI

спасибо всем, но на первом курсе, несмотря на то что наше направление причисляют к матфаку, в такие дебри не заходили, "собственные значения" теорию нам давали и несколько заданий, но пока на простейшем уровне... первый ответ мне подходит, если кто-то знает и подскажет подходящую литературу, где приводятся примеры с решениями, чтобы разобраться со вторым методом, буду очень признателен

(23 Сен '12 16:17) zhildemon
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×371

задан
18 Сен '12 16:28

показан
1128 раз

обновлен
23 Сен '12 16:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru