|
Как найти $%sup|Ax|, |x| = 1$%, при отображении $%A: R^2 -> R^2, (x_1,x_2) -> (y_1,y_2)$%. $%y_1 = 2x_1 - x_2$%;$%y_2 = x_1 + 3x_2$%? Не до конца понимаю формулировку задания, а потому не знаю с чего начать, буду признателен, если кто-нибудь подскажет или за ссылку на решение чего-нибудь подобного. задан 18 Сен '12 16:28 
zhildemon |
|
Если норма евклидова, то условие на x равносильно тому, что $%x_1^2+x_2^2=1$%. При этом условии надо найти максимум функции $%|Ax|^2 = (2x_1-x_2)^2+(x_1+3x_2)^2$%. Это задача на условный экстремум. Можно решать методом множителей Лагранжа. отвечен 18 Сен '12 20:21 
DocentI спасибо, подходит под ту теорию, что нам давали..
(23 Сен '12 16:10)
zhildemon
|
|
Можно и без множителей Лагранжа заменой $%x_1=sin(t), \;\;x_2=cos(t)$% и дальше - безусловный экстремум по $%t$% (приравнивание производной нулю). отвечен 19 Сен '12 0:52 
Андрей Юрьевич Наверное, можно вообще без производной, через собственные значения. Но это теорию надо знать.
(19 Сен '12 8:36)
DocentI
Не совсем понятно как найти максимум растяжения окружности через собственные значения матрицы преобразования.
(19 Сен '12 15:24)
Андрей Юрьевич
Может, и нельзя - давно этим не занималась. Когда немного освобожусь - подумаю. Чисто интуитивно мне казалось, что норма оператора равна максимальному модулю собственных значений - но не уверна. Могу и соврать... Кстати, в этом примере "нехорошие" корни.
(19 Сен '12 17:35)
DocentI
1
Ну да, можно. Линейно деформированная окружность - это эллипс. Нужно просто найти его большую полуось. Нужно представить преобразование в виде суперпозиции "чистого" растяжения и поворота, т.е. разложить матрицу преобразования в произведение двух соответствующих матриц.
(19 Сен '12 22:11)
Андрей Юрьевич
На самом деле, экстремальные направления будут действительно собственными направлениями, но только не для исходной матрицы, а для матрицы квадратичной формы, которой является $%|Ax|^2$%. Соответственно, коэффициенты растяжения по этим направлениям будут корнями из соответствующих собственных значений.
(21 Сен '12 9:29)
DocentI
спасибо всем, но на первом курсе, несмотря на то что наше направление причисляют к матфаку, в такие дебри не заходили, "собственные значения" теорию нам давали и несколько заданий, но пока на простейшем уровне... первый ответ мне подходит, если кто-то знает и подскажет подходящую литературу, где приводятся примеры с решениями, чтобы разобраться со вторым методом, буду очень признателен
(23 Сен '12 16:17)
zhildemon
показано 5 из 6
показать еще 1
|
А какая норма подразумевается? Евклидова?
Это задание можно рассматривать просто как задачу на условный экстремум: найти максимум функции при условии, связывающем ее переменные. Но по смыслу этот конкретный максимум - норма линейного оператора A. Эта норма показывает максимальное растяжение, которое A оказывает на x. Это связано с собственными значениями матрицы.