alt text

задан 19 Ноя '15 1:26

изменен 19 Ноя '15 14:21

Кажется, $%y=\arctan x$% удовлетворяет всем условиям, но нужный предел равен $%\pi/2$%.

(19 Ноя '15 1:41) cartesius
1

@alex_lookin: есть подозрение, что при электронном копировании условия пропал "штрих" у функции (там частенько бывает). Понятно, что сам предел f(x) может быть каким угодно (прибавили константу, и изменили значение). Скорее всего, нулю должен быть равен здесь предел производной, то есть f'(x). Проверьте условие.

(19 Ноя '15 2:27) falcao

@falcao: Да, видимо опечатка в задании.

(19 Ноя '15 14:19) alex_lookin
10|600 символов нужно символов осталось
3

Для любых $%0 < x_1 < x_2 < x_3$% из выпуклости следует, что $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.$$ Устремляя здесь $%x_3$% к $%+\infty,$% получаем, что $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le 0.$$ Если для некоторого $%\varepsilon \gt 0$% сколь угодно далеко найдётся такая пара точек $%0 < x_1 < x_2$%, что $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le -\varepsilon,$$ то, полагая $%x_3 = x_2 + 1,$% получим противоречие с наличием предела у $%f(x)$% т.к. $%|f(x_2)-f(x_3)| \ge \varepsilon.$% Значит, для любого $%\varepsilon > 0$% найдётся такое $%X=X_{\varepsilon},$% что $$-\varepsilon \le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le 0$$ для всех $%x_2 \gt x_1 \gt X_{\varepsilon}.$% Тогда производная будет удовлетворять неравенству $%-\varepsilon \lt f'(x) \lt 0$% для всех $%x \gt X_{\varepsilon},$% что и означает, что требуемый предел существует и равен нулю.

Утверждение сохраняет силу и для выпуклости вниз.

ссылка

отвечен 19 Ноя '15 18:02

изменен 19 Ноя '15 18:42

Не совсем понятно, откуда берется первое неравенство? Тем более, оно неверное. Возьмите функцию f(x) = √x и подставьте в качестве x1 = 1, x2 = 4, x3 = 9.

(19 Ноя '15 18:20) alex_lookin

Вот определение выпуклости: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D0%BF%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F В этом смысле функция $%f(x)=\sqrt{x}$% является выпуклой вниз (а не вверх). В некоторых случаях определения даются противоположным образом. Я специально сделал замечание о том, что в данной задаче это несущественно.

(19 Ноя '15 18:30) splen
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,793
×769
×670

задан
19 Ноя '15 1:26

показан
701 раз

обновлен
19 Ноя '15 18:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru