математический-анализ - Предел функции

Для любых $%0 < x_1 < x_2 < x_3$% из выпуклости следует, что $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}.$$ Устремляя здесь $%x_3$% к $%+\infty,$% получаем, что $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le 0.$$ Если для некоторого $%\varepsilon \gt 0$% сколь угодно далеко найдётся такая пара точек $%0 < x_1 < x_2$%, что $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le -\varepsilon,$$ то, полагая $%x_3 = x_2 + 1,$% получим противоречие с наличием предела у $%f(x)$% т.к. $%|f(x_2)-f(x_3)| \ge \varepsilon.$% Значит, для любого $%\varepsilon > 0$% найдётся такое $%X=X_{\varepsilon},$% что $$-\varepsilon \le \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \le 0$$ для всех $%x_2 \gt x_1 \gt X_{\varepsilon}.$% Тогда производная будет удовлетворять неравенству $%-\varepsilon \lt f'(x) \lt 0$% для всех $%x \gt X_{\varepsilon},$% что и означает, что требуемый предел существует и равен нулю.

Утверждение сохраняет силу и для выпуклости вниз.