математический-анализ - Сумма двойной производной и функции

Пусть $%u < v < w$% - три нуля функции $%f(x)$% на $%[a,b]$%. Рассмотрим функцию $%g(x)=e^{-x}f(x)$%. Она непрерывна на $%[u,v]$% как произведение непрерывных и дифференцируема на $%(u,v)$% как произведение двух дифференцируемых функций. Кроме того, $%g(u)=g(v)=0$%. По теореме Ролля существует число $%c_1\in (u,v)$% такое, что $%g'(c_1)=e^{-c_1}(f'(c_1)-f(c_1))=0$%. Следовательно, $%f'(c_1)=f(c_1)$%. Аналогичным образом применяя теорему Ролля для функции $%g(x)$% на $%[v,w]$%, получаем, что $%\space\exists\space c_2\in (v,w): f'(c_2)=f(c_2)$%.
Теперь рассмотрим функцию $%h(x)=e^{-x}(f(x)-f'(x))$%. Нетрудно проверить, что она является непрерывной на $%[c_1,c_2]$% и дифференцируемой на $%(c_1,c_2)$%, а также что $%\space h(c_1)=h(c_2)=0$%. Применяя теорему Ролля для $%h(x)$% на $%[c_1,c_2]$%, получаем, что $%\exists \xi\in(c_1,c_2):h'(\xi)=e^{-\xi}(-f(\xi)+f'(\xi)+f'(\xi)-f''(\xi))=e^{-\xi}(-f(\xi)+2f'(\xi)-f''(\xi))=0$%.
Таким образом, $%f(\xi)+f''(\xi)=2f'(\xi)$%