алгебра - Как доказать неравенство?

Имеем известное представление $%e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}+...$%, где $%e=2,7182...$%. Откуда $$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}< e-1<\frac{2n-1}{n}=2-\frac{1}{n},n>3$$. Для $%n=1;2;3$% неравенство легко проверить.

Дополнение к решению Anatoliy.

$%1. \ \ e = 2.71... \ \rightarrow \ \begin {cases} e - 1 = 2.71... - 1 = 1.71 ... < 1.75 \leq 1.75 = 2 - 0.25 = 2 - \frac{1}{4} \\ \\ 2 - \frac{1}{4} \geq e - 1 \end {cases}$%.

$%2. \ \ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \rightarrow \begin {cases} e - 1 = (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ...) - 1 \\ \\ e - 1 = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \end {cases} $%

$%3. \ \ \begin {cases} 2 - \frac{1}{4} \geq e - 1 \\ \\ e - 1 = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \end {cases} \ \ \ \rightarrow \ 2 - \frac{1}{4} \geq \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ...$%

$%4. \ \ n \in \mathbb{N} \wedge n \geq 4 \rightarrow \begin {cases} \frac{1}{4} \geq \frac{1}{n} \ \ \wedge \ \ - \frac{1}{4} \leq - \frac{1}{n} \ \ \wedge \ \ 2 - \frac{1}{4} \leq 2 - \frac{1}{n} = \frac{2n - 1}{n} \\ \\ \frac{2n - 1}{n} \geq 2 - \frac{1}{4} \end {cases} $%

$%5. \ \ \begin {cases} n \in \mathbb{N} \wedge n \geq 4 \wedge \frac{2n - 1}{n} \geq 2 - \frac{1}{4} \\ \\ 2 - \frac{1}{4} \geq \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ...\end {cases} \rightarrow \begin {cases} n \in \mathbb{N} \wedge n \geq 4 \\ \\ \frac{2n - 1}{n} \geq \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \end {cases}$%

Можно доказать по индукции. Для $%n=1$% неравенство выполнено (превращается в равенство). Предположим, оно выполнено для $%n=k$%. Переходим к $%n=k+1$%. К левой части прибавляется $%\frac{1}{(k+1)!}$%, а правая превращается в $%2-\frac{1}{k+1}=2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}$%, т.е. к правой части прибавляется $%\frac{1}{k(k+1)}$%.
Т.к. $%\frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot ... k(k+1)} \lt \frac{1}{k(k+1)}$%, то из выполнения неравенства при $%n=k$% следует его выполнение для $%n=k+1$%, ч.т.д.