Объясните, пожалуйста, это неравенство.

$$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!} \leq \frac{2n-1}{n}$$

задан 19 Сен '12 19:42

изменен 19 Сен '12 20:51

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Думаю это решение лучше подходить для 9-классника.

Так-как $%(n-1)n\le n!,$% значит $%\frac{1}{n!}\le\frac{1}{(n-1)n},$% при $%n>1.$% И так $$1\le1,$$$$\frac{1}{2!}\le\frac{1}{1\cdot2},$$$$\frac{1}{3!}\le\frac{1}{2\cdot3},$$$$...$$$$\frac{1}{n!}\le\frac{1}{(n-1)n}.$$Сложив эти неравенства получим $$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!} \le 1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{(n-1)n}.$$Преобразуем выражение в левой части: $%1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{(n-1)n}=1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=$% $%=2-\frac{1}{n}=\frac{2n-1}{n}.$%

ссылка

отвечен 21 Сен '12 19:01

изменен 21 Сен '12 19:43

10|600 символов нужно символов осталось
1

Имеем известное представление $%e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}+...$%, где $%e=2,7182...$%. Откуда $$\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}< e-1<\frac{2n-1}{n}=2-\frac{1}{n},n>3$$. Для $%n=1;2;3$% неравенство легко проверить.

ссылка

отвечен 19 Сен '12 20:25

изменен 19 Сен '12 20:26

Обьясните, пожалуйста е.(Учусь в 9-м класе)

(20 Сен '12 0:13) Роман Берла
10|600 символов нужно символов осталось
1

Дополнение к решению Anatoliy.

$%1. \ \ e = 2.71... \ \rightarrow \ \begin {cases} e - 1 = 2.71... - 1 = 1.71 ... < 1.75 \leq 1.75 = 2 - 0.25 = 2 - \frac{1}{4} \\ \\ 2 - \frac{1}{4} \geq e - 1 \end {cases}$%.

$%2. \ \ e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \rightarrow \begin {cases} e - 1 = (1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ...) - 1 \\ \\ e - 1 = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \end {cases} $%

$%3. \ \ \begin {cases} 2 - \frac{1}{4} \geq e - 1 \\ \\ e - 1 = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \end {cases} \ \ \ \rightarrow \ 2 - \frac{1}{4} \geq \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ...$%

$%4. \ \ n \in \mathbb{N} \wedge n \geq 4 \rightarrow \begin {cases} \frac{1}{4} \geq \frac{1}{n} \ \ \wedge \ \ - \frac{1}{4} \leq - \frac{1}{n} \ \ \wedge \ \ 2 - \frac{1}{4} \leq 2 - \frac{1}{n} = \frac{2n - 1}{n} \\ \\ \frac{2n - 1}{n} \geq 2 - \frac{1}{4} \end {cases} $%

$%5. \ \ \begin {cases} n \in \mathbb{N} \wedge n \geq 4 \wedge \frac{2n - 1}{n} \geq 2 - \frac{1}{4} \\ \\ 2 - \frac{1}{4} \geq \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ...\end {cases} \rightarrow \begin {cases} n \in \mathbb{N} \wedge n \geq 4 \\ \\ \frac{2n - 1}{n} \geq \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ ... + \frac{1}{n!} + \ ... \end {cases}$%

ссылка

отвечен 19 Сен '12 22:52

изменен 20 Сен '12 11:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно доказать по индукции. Для $%n=1$% неравенство выполнено (превращается в равенство). Предположим, оно выполнено для $%n=k$%. Переходим к $%n=k+1$%. К левой части прибавляется $%\frac{1}{(k+1)!}$%, а правая превращается в $%2-\frac{1}{k+1}=2-\frac{1}{k}+\frac{1}{k(k+1)}$%, т.е. к правой части прибавляется $%\frac{1}{k(k+1)}$%.
Т.к. $%\frac{1}{(k+1)!}=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot ... k(k+1)} \lt \frac{1}{k(k+1)}$%, то из выполнения неравенства при $%n=k$% следует его выполнение для $%n=k+1$%, ч.т.д.

ссылка

отвечен 20 Сен '12 0:57

изменен 20 Сен '12 0:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,872
×336

задан
19 Сен '12 19:42

показан
1588 раз

обновлен
21 Сен '12 19:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru